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機(jī)械社區(qū)

標(biāo)題: 證明0.9999999....=1 [打印本頁(yè)]

作者: 冷水黃金 時(shí)間: 2012-8-23 23:36
標(biāo)題: 證明0.9999999....=1
[attach]258654[/attach]

作者: 林の屋 時(shí)間: 2012-8-24 00:07
精彩......!!!

作者: robaiming 時(shí)間: 2012-8-24 00:31
額,。,。。,。,。
如果你去買菜,，賣菜的都會(huì)怕你

作者: wawaadd 時(shí)間: 2012-8-24 03:27
只能說(shuō)極限等于1吧,，不知道乘法是否有從理論上嚴(yán)格地?cái)U(kuò)充定義到無(wú)限小數(shù)的情況,，如果沒有，第一步到第二步就是不成立的

作者: xiaoshxin 時(shí)間: 2012-8-24 06:48
0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333
0.999999999=1/3+1/3+1/3
0.999999999=1
證明完畢

作者: 原諒我今天 時(shí)間: 2012-8-24 06:59
這個(gè)以前數(shù)學(xué)老師給我們講過(guò),，它確實(shí)就是相等的,。要不然，誰(shuí)能證明1比0.99999999...大,？大多少？

作者: 無(wú)冕游俠 時(shí)間: 2012-8-24 08:28
等式之所以成立,，錯(cuò)在第四步

作者: waiwai0809 時(shí)間: 2012-8-24 08:51
有才

作者: 一碗湯wh 時(shí)間: 2012-8-24 09:02
10a=9+a,，，,，

作者: charles006 時(shí)間: 2012-8-24 09:05
第四步錯(cuò)了：10a=9+a-0.000000000.....9

作者: 悠悠南山 時(shí)間: 2012-8-24 10:25
偷換概念,，呵呵！

作者: 天天工作室 時(shí)間: 2012-8-24 10:25
樓主你真能忽悠啊,。

作者: 旋子 時(shí)間: 2012-8-26 20:49
哈,，有意思�,。�

作者: 木子亻 時(shí)間: 2012-8-27 09:27
差不多精神

作者: 風(fēng)之舞-蛋炒飯 時(shí)間: 2012-8-27 09:43
天才

作者: 楊鋮皓 時(shí)間: 2012-8-27 09:49
誰(shuí)讓這小數(shù)無(wú)限循環(huán)起來(lái)的呢,？

作者: 楊鋮皓 時(shí)間: 2012-8-27 17:28
1/3是約等于0.333333333333.......吧,？？,？

作者: Twiney123 時(shí)間: 2012-8-28 23:01
樓主精彩,！

作者: william78 時(shí)間: 2012-8-30 16:58
10a＝9＋a，我愚笨,，不明白

作者: Top璀璨 時(shí)間: 2012-9-2 17:48
太給力了,，這算術(shù)

作者: liang271887922 時(shí)間: 2012-9-4 20:30
有意思，結(jié)論是正確的,，但感覺證明過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn),，好像有問(wèn)題，讓人不放心,！

作者: 是成功 時(shí)間: 2012-9-5 14:23
等式成立,，參見維基百科。

http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6

作者: zc812163754 時(shí)間: 2012-9-9 10:44
精彩~

作者: 雪豹LZW 時(shí)間: 2012-9-11 08:11
第四步的a和第一步的a數(shù)學(xué)意義是不一樣的,。所以第四步的等式不成立

作者: 給我二兩面 時(shí)間: 2012-9-11 10:42
10乘以a的意思是,，10從a的最后一位乘起，但我們找不到a的最后一位,，所以等式是不成立的,。所以，要用加法,。五樓才是正解,。

作者: 帥的離譜 時(shí)間: 2012-9-11 18:57
0.9999。,。=0.111,。。*9=1/9*9=1

作者: zhelongchen 時(shí)間: 2012-10-20 00:02
犀利,！

作者: huhaofei 時(shí)間: 2012-10-20 09:14
這證明也成立,？騙子橫行

作者: gushuaiqi17 時(shí)間: 2012-10-20 11:47
標(biāo)題: 我也可以證明
如圖所示

作者: frazil 時(shí)間: 2012-10-22 11:27
可以看看北京大學(xué)一個(gè)博士論文，關(guān)于上帝的存在性的,，主要從極限方面進(jìn)行論述的,，名字記不清了，看完之后你會(huì)覺得很有意思,。
在博士論文庫(kù)里面搜索上帝,，應(yīng)該可以找到。就是利用無(wú)限大圓和直線的關(guān)系來(lái)闡述的,。

作者: 老四123 時(shí)間: 2012-11-10 15:52
小學(xué)時(shí)看過(guò)

作者: vooha 時(shí)間: 2012-11-10 16:24
第三到第四的時(shí)候,，那個(gè)已經(jīng)不是原來(lái)的那個(gè)了,，雖然他很想那個(gè),，所以不能簡(jiǎn)單的就出來(lái)第四步,，要付出代價(jià)的

作者: vooha 時(shí)間: 2012-11-10 16:26
本帖最后由 vooha 于 2012-11-10 16:35 編輯

第三到第四的時(shí)候,，那個(gè)已經(jīng)不是原來(lái)的那個(gè)了，雖然他很想那個(gè),，所以不能簡(jiǎn)單的就出來(lái)第四步,，要付出代價(jià)的

1和0.99999....如果相等的話，那么他們的差應(yīng)該是0,，但顯然他們的差肯定大于0,所以不相等

作者: 方圖 時(shí)間: 2012-11-16 21:31
咱們別整極限等數(shù)學(xué)概念吧,，應(yīng)該還是有區(qū)別的吧，
0.9999... 就像“發(fā)展中國(guó)家”,，像是個(gè)動(dòng)態(tài)概念,？
1 就是發(fā)達(dá)國(guó)家了

古語(yǔ)云，失之毫厘,，差之千里,！

作者: 胡胡胡胡 時(shí)間: 2013-1-15 13:37
3*(1/3)haha

作者: kongping 時(shí)間: 2013-1-15 14:27
樓主的證明本身是正確的。
0.9999999...是無(wú)限循環(huán)小數(shù),，這個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)就等于1,。
只是一看到0.9999999...，就感覺這個(gè)數(shù)接近1但不等于1,。這個(gè)感覺就不對(duì),。

作者: liang271887922 時(shí)間: 2013-1-16 19:43
本帖最后由 liang271887922 于 2013-1-16 19:48 編輯

好好研究一下再發(fā)表

作者: 秋高麥子 時(shí)間: 2013-1-25 11:46
不讀大學(xué)真可怕，什么叫極限,，什么叫無(wú)限接近,，什么叫接近

作者: sunlight_1988 時(shí)間: 2013-1-25 12:04
哈哈！

作者: ★知足常樂(lè)★ 時(shí)間: 2013-7-10 17:08
公說(shuō)公有理婆說(shuō)婆有理這不是一般人討論的話題弄點(diǎn)正事吧

作者: zxjcxx 時(shí)間: 2013-7-11 10:05
0.9999999是理性,，只有人類具備這種能力,；
1是感性，動(dòng)植物也可能具備這種能力,。
但人類很難將理性和感性和諧地統(tǒng)一為一體,，這是人類痛苦的根源。

作者: zxjcxx 時(shí)間: 2013-7-11 10:07
理性,，是在時(shí)間維度上的無(wú)限操作,。

作者: Ghostbeing 時(shí)間: 2013-7-26 09:59
精彩你妹啊,！
樓主你把a(bǔ)帶進(jìn)去的時(shí)候就默認(rèn)0.9999999+一個(gè)無(wú)窮小量,。,。,。,。
你學(xué)的啥高數(shù)啊。,。,。。,。

作者: landxie 時(shí)間: 2013-8-10 18:50
從實(shí)數(shù)的角度來(lái)看, 0.999999...=1, 實(shí)數(shù)可以從數(shù)列極限的角度來(lái)定義數(shù),；但是爭(zhēng)執(zhí)的點(diǎn)在于, 如果從有理數(shù)的角度來(lái)看, 我們?cè)撊绾味x0.99999....., 因?yàn)橛欣頂?shù)的定義是 a/b, a和b都是整數(shù). 我所學(xué)的有理數(shù)概念并沒有整合無(wú)限這個(gè)概念. 所以這也是為什么有些人覺得0.9999...不等于1, 這個(gè)爭(zhēng)執(zhí)在于定義

作者: 1032220424 時(shí)間: 2013-8-11 17:35
還真沒看出錯(cuò)誤來(lái)

作者: 狂飆的蝸牛Ky 時(shí)間: 2013-10-11 16:17
10a=9+a？這是什么推理,？

作者: 旋子 時(shí)間: 2013-10-11 16:51
無(wú)限接近于1

作者: 茉莉素馨 時(shí)間: 2013-10-23 10:02
實(shí)數(shù)域?qū)臃ê统朔ǘ际欠忾]的,，這么做是沒有問(wèn)題的
根據(jù)極限的定義，任意給定一個(gè)數(shù)ε>0,，總是存在一個(gè)N,，N=1/ε，
當(dāng)有,，n>N+1后,，|1 - 0.999999...|<ε
所以，0.9999... 的極限就是1
數(shù)學(xué)分析里面寫的很清楚

作者: 阿俊-Hansen 時(shí)間: 2013-10-24 21:29
等式在第二部就不成立了

作者: wzdybyqhtt 時(shí)間: 2013-12-25 23:15
[b]1=1/3乘以3=0.3333333........乘以3 =0.999999.......

作者: 中等公差belee 時(shí)間: 2013-12-26 11:13
哈哈厲害

作者: crylament 時(shí)間: 2013-12-27 15:45

林の屋發(fā)表于 2012-8-24 00:07 " a. L2 z9 j- C4 ~4 f
精彩......!!!

精彩個(gè)P,，它論證的有問(wèn)題,，上面a=0.9999。,。,。
下面a=1，什么東西啊,。,。。,。,。。,。,。。,。,。。,。,。。拍馬屁。

1/3=0.3333333333,。,。。,。,。。
3*1/3=0.3333333,。,。。,。,。*3=0.9999999999。,。,。。,。
3*1/3=1/3+1/3+1/3=1
0.999999,。。,。=1

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2013-12-27 17:01
這個(gè)問(wèn)題,，回過(guò)頭來(lái)再看，應(yīng)該這么解決

0.9999.......在平時(shí)我們常用的微積分中（稱為標(biāo)準(zhǔn)分析,，建立在實(shí)數(shù)集基礎(chǔ)上）,，是一個(gè)柯西序列，他是收斂到1的,，所以可以認(rèn)為0.9999......=1

但是,，還有種非標(biāo)準(zhǔn)分析，他是建立在擴(kuò)充的實(shí)數(shù)集上的,，所謂擴(kuò)充實(shí)數(shù)集,，就是把無(wú)窮大，無(wú)窮小,，也作為一個(gè)實(shí)數(shù),，加入到標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)數(shù)集中。這種情況下,，0.9999......無(wú)法收斂到1,，他和1差一個(gè)無(wú)窮小

所以，現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是這樣,，一個(gè)命題成立不成立,，你得看他在哪個(gè)框架下,，很多命題，在一個(gè)框架下是成立的,，在另一個(gè)框架下就不成立了,。比如1+1=3，在勒貝格測(cè)度下,，是錯(cuò)誤的（平時(shí)我們做的加法，乘法,，就是在勒貝格測(cè)度下）,，想使1+1=3成立，而且不引起邏輯錯(cuò)誤和矛盾,，你只要自行定義新的測(cè)度即可,。

作者: qq5655980 時(shí)間: 2013-12-27 20:02
提示: 作者被禁止或刪除內(nèi)容自動(dòng)屏蔽

作者: suyingyyy 時(shí)間: 2014-1-14 00:23
第三部就錯(cuò)了 10*a 最末尾怎么也是0 和10+a差那么一點(diǎn)點(diǎn)

作者: 軒轅相濡 時(shí)間: 2014-2-12 20:42
第一步到第二部你確定可以乘？

作者: 軒轅相濡 時(shí)間: 2014-2-12 20:43
1/3+2/3=1

作者: 胡工hugong 時(shí)間: 2014-3-5 16:06
牛啊

作者: 世界第一等の 時(shí)間: 2014-3-12 14:56
0.11111...=1/9
0.22222...=2/9
0.33333...=3/9
.
.
.
0.99999...=9/9=1

作者: xi315 時(shí)間: 2014-3-13 10:27
我覺得第二個(gè)等號(hào)就已經(jīng)有問(wèn)題了,，一個(gè)無(wú)窮的數(shù) x 10是沒法運(yùn)算的,，不是簡(jiǎn)單的移個(gè)小數(shù)點(diǎn)就算乘以10了。

作者: 千門萬(wàn)戶 時(shí)間: 2014-4-26 00:39
0.9999....=0.3333....*3=(1\3)*3=1

作者: qzeng52 時(shí)間: 2014-4-27 18:40
第二步絕對(duì)有問(wèn)題

作者: fuhuafeng72 時(shí)間: 2014-4-28 21:58
有意思

作者: 陸qq1 時(shí)間: 2014-5-15 08:17
混淆公式啊,，這是

作者: panycbob 時(shí)間: 2014-5-16 09:00
提示: 作者被禁止或刪除內(nèi)容自動(dòng)屏蔽

作者: syxgale 時(shí)間: 2014-5-16 09:24
我也覺得證明過(guò)程有點(diǎn)問(wèn)題,，無(wú)限循環(huán)參與計(jì)算不能不考慮誤差啊

作者: 麻神machine 時(shí)間: 2014-5-17 19:42
極限的情況這種算法不成立的

作者: 光111光 時(shí)間: 2014-5-21 14:07
數(shù)學(xué)知識(shí)還給老師了，給個(gè)準(zhǔn)確的答案吧

作者: huangzhenbao 時(shí)間: 2015-2-4 15:15
等式之所以成立,，錯(cuò)在第四步

作者: 袁光金 時(shí)間: 2015-2-5 09:29
9a=9是怎么做到的,。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合適嗎,？

作者: wq27265390 時(shí)間: 2015-2-6 14:27
好強(qiáng)大

作者: Pascal 時(shí)間: 2015-2-6 15:25

袁光金發(fā)表于 2015-2-5 09:29
* `& Q* C& H8 ?7 l" L0 |9a=9是怎么做到的,。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合適嗎,？

可參考下這個(gè)帖子
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=360758&extra=&page=1

作者: 刀切面 時(shí)間: 2015-2-9 06:42
標(biāo)題: RE: 證明0.9999999....=1

xiaoshxin 發(fā)表于 2012-8-24 06:48
+ C( `7 F/ B+ s( J/ ] L& R1 `0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333
+ ^1 Z: f& X( A0.999999999=1/3+1/3+1/3
~6 R& q D. A9 A0.999999999=1

好神奇

作者: dxx347 時(shí)間: 2015-2-9 11:32
0.99999......=3*0.3333333.....=3*（1/3）=1

作者: 陳小困 時(shí)間: 2015-5-22 16:40
逗

作者: 颶天使 時(shí)間: 2015-12-29 16:19
一種混淆概念的方法

作者: cosxuan 時(shí)間: 2015-12-29 16:51
這個(gè)極限可以寫成1-1/（10^n）

作者: boa65432 時(shí)間: 2015-12-29 19:58
10a no 等于 9+a

作者: ustb_anays 時(shí)間: 2015-12-31 20:58
根本不用證明我說(shuō)兩者相等有誰(shuí)不服可以給我找出介于1和0.9999...之間的數(shù) 哈哈找不到吧

作者: cuiwu 時(shí)間: 2018-12-12 14:43

無(wú)冕游俠發(fā)表于 2012-8-24 08:285 [( i& p1 b: E
等式之所以成立,，錯(cuò)在第四步

同意

作者: move3309 時(shí)間: 2021-5-20 16:38
第四步不對(duì)，所以推導(dǎo)不成立

作者: Kai_CC 時(shí)間: 2021-5-21 02:08
啊,。,。。這個(gè)都成月經(jīng)問(wèn)題了,，各個(gè)論壇上都會(huì)吵一遍/幾遍,。。我也吵過(guò)幾次,，淡定了一些,，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說(shuō)說(shuō)我的看法。
有人說(shuō)這個(gè)題是能看出人學(xué)沒學(xué)過(guò)高數(shù)的分水嶺,，其實(shí)不然,。這其實(shí)只關(guān)于對(duì)于極限思想的理解而已。。

其實(shí)0.999...999是嚴(yán)格=1的,。

一個(gè)簡(jiǎn)單的證明：

【定理】在任意兩個(gè)不同的有理數(shù)之間必定存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù),。

先證定理：a和b兩有理數(shù)，如果a!=b,那么一定存在n個(gè)c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0,，n)

顯而易見吧,？意思就是它們之間的小區(qū)間可以無(wú)限再分，從而構(gòu)成無(wú)窮多新的有理數(shù),。

回到題目：0.999...999和1是不是不同,？

反證法，假設(shè)不同：那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2

這個(gè)數(shù)是什么呢,？那一定是有一個(gè)小數(shù),，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個(gè)新的數(shù)就應(yīng)該是你之前的那個(gè)數(shù),？

所以說(shuō)明了什么,？要么存在一個(gè)新數(shù)取代了原來(lái)的數(shù)，要么兩數(shù)相等,。如果新數(shù)取代了原來(lái)的數(shù),，證明你的9還不夠多。

所以,，0.999...999和1只能相等,，證畢

更簡(jiǎn)單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說(shuō)過(guò)了：
1/3=0.33..33，這個(gè)居然還有人質(zhì)疑,？小數(shù)（或者說(shuō)根本不存在小數(shù)）和分?jǐn)?shù)是一一對(duì)應(yīng)的,，或者說(shuō)根本就是相等的，這個(gè)也不需要質(zhì)疑的好吧,？后面就不證了,，有想杠一下的再說(shuō)。

再細(xì)說(shuō)一下第三種,。
0.999...999*10=9.999...999
這個(gè)式子成不成立,？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數(shù)點(diǎn)少一個(gè)9的感覺,？為什么,？
伽利略悖論有一句話：正偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。
解讀過(guò)來(lái),，在無(wú)窮的層面上,，每一個(gè)自然數(shù)都和他的2倍一一對(duì)應(yīng)，有n個(gè)自然數(shù),，就有n個(gè)正偶數(shù),。
（多提一句：上例可以一一對(duì)應(yīng),，但涉及無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)則不行，實(shí)數(shù)對(duì)于有理數(shù)屬于高階包含,，不存在映射關(guān)系了）
同理,，每一個(gè)左邊的9，都與右邊的等位的9(其實(shí)是前一個(gè))一一對(duì)應(yīng),，相當(dāng)于編程里的n=n+1,沒問(wèn)題吧,？
因?yàn)槭茄h(huán)小數(shù)，數(shù)位后是n位,，在無(wú)限的概念下,，n和n+1沒有區(qū)別。這一點(diǎn)可能不太好理解,，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了,。

另外說(shuō)什么無(wú)限小數(shù)不能計(jì)算的,，純屬扯淡。無(wú)限小數(shù)是位數(shù)不限,，不是大小不限,。再無(wú)限的小數(shù)，他的值也是有限的,，不能混淆他和無(wú)窮大之間的區(qū)別,。

大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應(yīng)該高于各門戶網(wǎng)站的網(wǎng)友群體吧,。有問(wèn)題或者不同意見,，歡迎交流。

作者: 新手駕駛 時(shí)間: 2021-5-21 19:15
c=0.999...
10c=9.999...
10c-c=9.999...-0.999...
9c=9
c=1

作者: 喝酒不吃肉 時(shí)間: 2021-5-22 14:42
第四步代換不對(duì),，不滿足一元一次不等式要求,，等號(hào)左右未知數(shù)必須同時(shí)替換

作者: majingfeng 時(shí)間: 2021-5-23 08:37
吃飽撐的不務(wù)正業(yè)的東西

作者: m2006410 時(shí)間: 2021-5-24 06:04
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:39 編輯

這個(gè)厲害了

作者: 指天為地 時(shí)間: 2021-5-24 08:48
雖然你證明了0.999999....=1，但是P夕夕還是不會(huì)給你體現(xiàn)的,！

作者: m2006410 時(shí)間: 2021-5-24 09:51
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:38 編輯

這個(gè)厲害的

作者: 陳浩南98 時(shí)間: 2021-5-24 11:24
微乎其微,，忽略

作者: 未來(lái)第一站 時(shí)間: 2021-5-24 23:33

作者: 鳳笙龍笛 時(shí)間: 2021-5-25 06:46
搞機(jī)械的都成數(shù)學(xué)家了

作者: 總點(diǎn)外賣先生 時(shí)間: 2021-5-25 11:46
優(yōu)秀

作者: 一尾錦鯉 時(shí)間: 2021-5-25 14:34
請(qǐng)先證明9a＝9

作者: babty 時(shí)間: 2021-5-26 08:43

wawaadd 發(fā)表于 2012-8-24 03:27& F# T! k3 r. g) ~% o
只能說(shuō)極限等于1吧，不知道乘法是否有從理論上嚴(yán)格地?cái)U(kuò)充定義到無(wú)限小數(shù)的情況,，如果沒有,，第一步到第二步 ...

作者: oceantomas 時(shí)間: 2021-5-27 10:37
不知道對(duì)不對(duì)

，畢竟曾經(jīng)學(xué)的是數(shù)學(xué)分析

作者: opaqueboy 時(shí)間: 2022-10-10 16:25
真幾把無(wú)聊,，老師講極限的時(shí)候不是學(xué)過(guò)�,。�

作者: jxzdh1002 時(shí)間: 2022-11-16 10:22
讓我想起了宋小寶的小品,，吃完湯面不給錢,。因?yàn)闇媸怯贸疵鎿Q的

作者: 老魚DH 時(shí)間: 2022-11-19 17:59
咕咕咕,，要有光

作者: 平凡yjr 時(shí)間: 2022-12-6 07:56

xiaoshxin 發(fā)表于 2012-8-24 06:48
6 e6 p+ Z; L0 e. s- c& n0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.3333333337 M8 ~' v$ F0 F4 P: i, {- D. P
0.999999999=1/3+1/3+1/3
0.999999999=1

作者: 藏鋒聚氣 時(shí)間: 2022-12-19 11:19
1:我怎么少了一點(diǎn)？我想想,，少了哪一點(diǎn),？
嗯！少了一點(diǎn)腦子

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