機(jī)械社區(qū)
標(biāo)題: 從0.9...=1談起 [打印本頁(yè)]
作者: 兩岸猿聲啼不住 時(shí)間: 2012-9-11 11:36
標(biāo)題: 從0.9...=1談起
本帖最后由 兩岸猿聲啼不住 于 2012-9-11 11:39 編輯
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7 |, e6 d; M: b$ J% x- i 說(shuō)到這個(gè)話題，首先最好要明白,，這是屬于西方科學(xué)——數(shù)學(xué)范疇的問(wèn)題,，既然屬于西方數(shù)學(xué)的范疇，那么你就得用它的思維方式和語(yǔ)言來(lái)談?wù)�,，而不能用日常生活的話語(yǔ)來(lái)談?wù)�,，大家說(shuō)是不？研究唐詩(shī)宋詞你就得用古漢語(yǔ)，研究俳句你就得融入日本文化,，那么探討這個(gè)0.9…與1的關(guān)系之類的問(wèn)題,，當(dāng)然就得用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也就是行話,，大家說(shuō)對(duì)吧,？
就我所知，在西方數(shù)學(xué)中,，是有數(shù)系的說(shuō)法的,。數(shù)系最簡(jiǎn)單的是自然數(shù)系，就是從1,、2,、3……等一直數(shù)下去，繼而是“比例數(shù)”系,，這個(gè)比例數(shù)一定要強(qiáng)調(diào),，就是兩個(gè)自然數(shù)之比，現(xiàn)在的教材都翻譯為有理數(shù),，把人弄糊涂了,。其實(shí)好像數(shù)學(xué)天才陶哲軒也是主張翻譯成“比例數(shù)”的，因?yàn)楸緛?lái)比例數(shù)的定義就是“自然數(shù)/自然數(shù)”,，那么凡是不能用兩個(gè)自然數(shù)之比來(lái)表達(dá)的數(shù)比如√2,，就叫“非比例數(shù)”，這比什么有理數(shù)無(wú)理數(shù)清楚明白多了,。當(dāng)初我在學(xué)校學(xué)習(xí)這個(gè)有理數(shù)無(wú)理數(shù)的時(shí)候就納悶了,，既然都無(wú)理了，為什么還敢出來(lái)……搞不懂,，不敢問(wèn)老師,，話說(shuō)上學(xué)時(shí)有太多感覺不合常理的東西，都不敢問(wèn)老師……
那么回過(guò)頭來(lái)說(shuō),，這個(gè)0.9…到底是指什么呢,？是｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝這個(gè)無(wú)窮序列，還是單純指一個(gè)數(shù),？在這里我傾向于后者,。實(shí)際上前者的形式只是為了讓人好理解而已，其目的是為了讓人明白無(wú)窮數(shù)列的極限并不包含在數(shù)列之中,。
有朋友說(shuō),，既然 0.1...＝1/9，那么 0.9... = 0.1... × 9 = 1/9 × 9 = 1,，是再明顯不過(guò)的了,，于是 0.9... = 1 得證,。如果僅僅看結(jié)果而不看過(guò)程的話，即使是再高明的大數(shù)學(xué)家,，對(duì)這個(gè)結(jié)果也會(huì)無(wú)話可說(shuō)。但是話說(shuō)回來(lái),，如果我們是那種搞粗放種植的莊戶人,，我們就完全不必費(fèi)那么多心思，琢磨這種細(xì)枝末節(jié)的東西,，就一鋤一個(gè)坑,，然后把種子撒進(jìn)去，敷上土拉倒,。但是這個(gè)活卻不像種莊稼那么粗糙,，它就像制作機(jī)械表。我感覺,，設(shè)計(jì)農(nóng)用大馬力拖拉機(jī)的工程師,，如果不經(jīng)學(xué)習(xí)，應(yīng)該設(shè)計(jì)不了精密機(jī)械表,，也就是說(shuō),，研究精密的東西，你得思維也得要匹配,，也得要精密細(xì)致起來(lái),。
我們知道實(shí)數(shù)系里面有兩種數(shù)，一種是“比例數(shù)”,，一種是“非比例數(shù)”,。那么0.9...到底是比例數(shù)，還是非比例數(shù),？我反正是找不到它的比例數(shù)表達(dá)式,，只好把它當(dāng)作非比例數(shù)。但是0.1...=1/9,，卻是一個(gè)不折不扣的比例數(shù),，還有0.3...=1/3也是。這樣一來(lái),，就能看出上面那個(gè)證明的錯(cuò)誤所在了,。0.1...是比例數(shù)，9也是比例數(shù),，兩個(gè)比例數(shù)相乘,，怎么就能得出非比例數(shù)0.9...呢？所以那個(gè)證明,，從分析的角度來(lái)看,，我覺得有點(diǎn)似是而非,。因?yàn)閿?shù)學(xué)運(yùn)算除了六種基本代數(shù)運(yùn)算加減乘除乘方開方外，還有一種極限運(yùn)算即lim運(yùn)算,，而后者正是所謂高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),。說(shuō)點(diǎn)題外話，高等數(shù)學(xué)這個(gè)名稱本身就拒人于千里之外,，好像是高等人才能學(xué)的一樣……
要嚴(yán)格探討0.9...與1的關(guān)系,，就需要借助更深一層的數(shù)學(xué)思維。比方說(shuō),，實(shí)數(shù)的戴德金分割,，也就是數(shù)軸的分割。在一條一維數(shù)軸上,，不知道有多少數(shù),，但可以肯定的是，每個(gè)數(shù)的兩邊都有數(shù),，且每?jī)蓚�(gè)數(shù)之間都有無(wú)窮多個(gè)數(shù),，更讓粗思維的人困惑的是，“我們無(wú)法寫出緊挨著一個(gè)數(shù)的另一個(gè)數(shù)”,，這句話里面蘊(yùn)含著“連續(xù)性”的意思,。比方說(shuō)，緊挨著1的自然數(shù)是2,，但緊挨著1的實(shí)數(shù)是多少,，是1.0...（無(wú)窮個(gè)0）1嗎？在樓主看來(lái),，無(wú)窮這個(gè)詞跟無(wú)知是等價(jià)的……當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題在這里不做深入討論,。
我們把實(shí)數(shù)系即數(shù)軸做一個(gè)分割，也就是分成兩部分,，其中左邊的數(shù)都小于右邊的數(shù),，那么這個(gè)分割的界限，根據(jù)其理論,，要么是比例數(shù),，要么是非比例數(shù)。那么我們把數(shù)軸比方說(shuō)分成(-∞, 1)與[1, +∞)兩部分,，那么這個(gè)分割的界限就是比例數(shù)1,，且這個(gè)界限屬于右區(qū)間，而不是左區(qū)間,。這個(gè)時(shí)候,，不知道大家注意到?jīng)]有，那就是在左區(qū)間,，存在最大的數(shù)嗎,？這個(gè)最大的數(shù)是多少,，你能寫出來(lái)嗎？右區(qū)間最小的數(shù)是1,，可左區(qū)間最大的數(shù)是多少,？你在網(wǎng)上搜索到的這些問(wèn)題的答案，都很讓人困惑,，包括樓主,。還有，就這個(gè)分割看來(lái),，應(yīng)該是包含了全部的實(shí)數(shù)了,，那么那個(gè)所謂的0.9...,，肯定也是被包含在其中了,。那么它是被包含在左邊還是右邊呢？顯而易見是在左邊,。那么它跟1之間到底相差多少呢,？從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)來(lái)看，相差一個(gè)無(wú)窮小,。那么為什么大家都說(shuō)0.9...=1呢,？而又有人說(shuō)不相等呢？因?yàn)閺姆菢?biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看來(lái),，相差一個(gè)無(wú)窮小的兩個(gè)數(shù)可以認(rèn)為是等價(jià)的,。但對(duì)于普通人來(lái)講，等價(jià)跟相等差別不大,，所以也可以認(rèn)為它們相等,。就像y=x^2的導(dǎo)數(shù)或者說(shuō)微分，或者說(shuō)微商或差商的極限,，嚴(yán)格來(lái)說(shuō),，其表達(dá)式應(yīng)該是△y/△x=2x+o(x)，但是大家都默認(rèn)是y'=2x一樣,，二者只相差一個(gè)無(wú)窮小,。所以有學(xué)者認(rèn)為微積分的精髓就是“略去高階無(wú)窮小”。明白了這其中的因由,，你就能體會(huì)到那種從看山是山,，到看山不是山，到最后看山又是山的感覺了,。
說(shuō)實(shí)話,，我覺得對(duì)有志于補(bǔ)習(xí)一點(diǎn)微積分知識(shí)的初學(xué)者來(lái)說(shuō)，上面說(shuō)的這些簡(jiǎn)單的提綱,，如果你能明白一些,，不知能給你節(jié)省多少時(shí)間,，而且還是徹底清楚明白的掌握微積分，而不是云里霧里,，只會(huì)查手冊(cè)套公式,，套起來(lái)心里還沒底。話說(shuō)外行照抄答案都不一定能抄對(duì),。當(dāng)然了,，在機(jī)械論壇里談這些東西，難免有賣弄的嫌疑,，但我是知無(wú)不言,，并且我把好多專業(yè)名詞術(shù)語(yǔ)給白話化了，但也有好多話題沒有展開,。因?yàn)槲艺J(rèn)為思維無(wú)分貴賤,，很多時(shí)候并不是作者所談的東西人家不明白，而是作者沒能說(shuō)得人家能明白,。當(dāng)然了,，如果真的一點(diǎn)兒基礎(chǔ)也沒有，也真讓別人難為其說(shuō)了,。
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作者: 兩岸猿聲啼不住 時(shí)間: 2012-9-11 11:39
這個(gè)行間距很小,，不知道怎么調(diào)行間距。
作者: 機(jī)械師加油 時(shí)間: 2012-9-11 11:59
看完了�,。,。�,！好�,。」雌鹆宋覍�(duì)微積分沒好的回憶
作者: 哥是個(gè)傳說(shuō) 時(shí)間: 2012-9-11 12:05
{:soso_e183:}
作者: 張鼎 時(shí)間: 2012-9-11 14:30
0.99999....是有理數(shù)。
作者: 十年一夢(mèng) 時(shí)間: 2012-9-11 14:45
樓主功力高深，厲害,！不過(guò)，這句話：“那么它是被包含在左邊還是右邊呢,？顯而易見是在左邊。那么它跟1之間到底相差多少呢,？從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)來(lái)看,，相差一個(gè)無(wú)窮小�,！蹦僮屑�(xì)想想,？. F! _- X, K* x
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您認(rèn)為0.9999....與1之間差一個(gè)無(wú)窮小量，正是見山不是山啊,。多有得罪,，請(qǐng)?jiān)彙?hr noshade size="2" width="100%" color="#808080">
作者: wangjian30 時(shí)間: 2012-9-11 14:57
0.99999....和1之間不是相差一個(gè)無(wú)窮小, 是絲毫不差.0 N9 k" H6 f: I* v
6 X# t# T: o. {+ l2 e4 n. [設(shè) x = 0.99999...0 K |1 V1 R5 \& J6 p8 p" M
那么10x - x = 9.999999.... - 0.99999.... = 9+ I/ `* r- ~6 x2 T
即 9x = 9 7 r2 ]" Y+ f# ^/ b$ c8 }+ O, R7 |
所以必有 x = 1
作者: 張鼎 時(shí)間: 2012-9-11 15:11
無(wú)限循環(huán)小數(shù)就是有理數(shù),。說(shuō)白了，這道題就是等比數(shù)列求極限,。
作者: 煙雨飄秋夢(mèng) 時(shí)間: 2012-9-12 13:13
頭痛,。我想我沒有數(shù)學(xué)腦細(xì)胞！
作者: h283789796 時(shí)間: 2012-9-12 23:43
感覺回到教室了
作者: dhf654 時(shí)間: 2012-9-13 10:17
我認(rèn)為0.9.....與1的區(qū)別在于這個(gè)世界是不斷變化和不確定的所以我們的真實(shí)世界是0.9......,；而我們要確實(shí)要個(gè)確定值最簡(jiǎn)單的是1,，而我們精確的位數(shù)越高，科技就越發(fā)達(dá)
作者: 夏,，末 時(shí)間: 2012-9-13 10:27
懷念我的數(shù)學(xué)老師
1 Q" X& n/ A+ l+ Q6 w7 Z4 [0 j% f……
作者: 兩岸猿聲啼不住 時(shí)間: 2012-9-13 12:07
張鼎 發(fā)表于 2012-9-11 15:11 
' P; m4 R ?. m無(wú)限循環(huán)小數(shù)就是有理數(shù),。說(shuō)白了，這道題就是等比數(shù)列求極限,。
. E! D8 n& { s等比數(shù)列求極限,，跟您商榷幾道題，答案只有是與否：
) r) ^8 E! Z5 u1,、無(wú)窮數(shù)列{1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...}的極限是0嗎,？
) F3 ?: S9 s f* |% b2,、1/32包含在上述數(shù)列之中嗎,？
: Z4 Y- H) A+ Y$ @3、0包含在上述數(shù)列之中嗎,？0 ], `1 R L6 ~5 M8 M+ o0 Q1 w
作者: 張鼎 時(shí)間: 2012-9-13 12:17
是,，是，否,。3 q& V' P8 h K4 R2 |
作者: 兩岸猿聲啼不住 時(shí)間: 2012-9-13 12:20
謝謝您的探討,，我亦如是作答。仍有幾個(gè)問(wèn)題同您繼續(xù)商榷：
/ |( G* x6 |. U4,、無(wú)窮數(shù)列{0.9, 0.99, 0.999, ...}的極限是1嗎,？
7 Y( w3 N) W; h5、實(shí)數(shù)0.9...包含在上述數(shù)列之中嗎,？
+ u% L0 r2 H1 m* z2 p; T6,、1包含在上述數(shù)列之中嗎？
作者: _Jason_Terry,、 時(shí)間: 2012-9-13 16:18
能感受到LZ的智商
作者: _Jason_Terry,、 時(shí)間: 2012-9-13 16:19
微積分
作者: 917617960 時(shí)間: 2012-9-13 19:31
0.999999...../3=0.33333333.....=1/3
作者: zhongdong163 時(shí)間: 2012-9-13 20:25
喜歡這篇文章。有段時(shí)間沒看數(shù)學(xué)了,，感覺有點(diǎn)荒廢了
作者: 笨手笨腳 時(shí)間: 2012-9-13 22:19
不錯(cuò)不錯(cuò)
作者: 兩岸猿聲啼不住 時(shí)間: 2012-9-14 17:45
感覺這個(gè)話題很無(wú)聊,，樓主與各位參與的朋友都累壞了……+ K8 S6 `: x' H' ]* R6 q8 Q0 m7 W# Q( z
建議有興趣的朋友看看官方的東西吧：: P" K/ Q2 b6 ~, ? O
http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6
/ F3 B* Z5 R+ @' [! r B% P% Z溫馨提示：前半部分大家都知道了，重點(diǎn)在后半部分,。
( d6 `1 q" I! M3 ^$ s凡事琢磨的太清楚也不好,，難得糊涂,，洗洗睡吧。
作者: 2388843618 時(shí)間: 2012-9-20 21:46
張鼎 發(fā)表于 2012-9-13 12:17
* A9 `1 F" t+ \/ [) X是,，是,，否。
+ q/ \2 C9 c- e4 Q( j9 r9 S同感,！
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