1 問(wèn)題的提出
插銑法又稱Z軸銑削法,，其工作方式類似于鉆削,，刀具沿主軸方向做進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，利用底部的切削刃進(jìn)行鉆,、銑組合切削,。插銑加工法的原理圖如圖1所示。
圖1 插銑加工法原理圖
插銑加工法是復(fù)雜曲面金屬切削實(shí)現(xiàn)高切除率最有效的方法之一,，被廣泛應(yīng)用在具有垂直側(cè)壁的零件切削上,。插銑法的加工效率遠(yuǎn)高于常規(guī)的銑削方法，可以快速切除大量金屬材料,。此外,，插銑加工還具有以下優(yōu)點(diǎn)：
①側(cè)向力小,，減小了零件變形,；
②加工中作用于銑床的徑向切削力較低,，使主軸剛度不高的機(jī)床仍可使用而不影響工件的加工質(zhì)量,；
③刀具懸伸長(zhǎng)度較大,，適合對(duì)工件深槽的表面進(jìn)行銑削加工并延長(zhǎng)刀具使用壽命,，也適用于對(duì)高溫合金等難切削材料進(jìn)行切槽加工。
雖然插銑加工擁有許多優(yōu)勢(shì),，但是過(guò)去和當(dāng)前對(duì)銑削加工的研究主要集中在使用端銑刀加工雕塑曲面時(shí)的優(yōu)化問(wèn)題,。很少見(jiàn)到對(duì)插銑加工刀具路徑規(guī)劃的研究。
Ocfill(over-lapped circles filling)算法生成插銑加工的刀具軌跡,，較好地解決了二維區(qū)域內(nèi)的插銑加工刀具路徑的生成問(wèn)題,。但是該算法不能對(duì)刀軸進(jìn)行控制(只能應(yīng)用在三坐標(biāo)機(jī)床加工中)，無(wú)法針對(duì)具有扭曲型腔的零件生成插銑加工路徑,。提出了一個(gè)插銑加工的機(jī)械和動(dòng)力學(xué)時(shí)間域模型,，但也只應(yīng)用在三坐標(biāo)銑削加工上。
在工業(yè)生產(chǎn)中,，有一類零件必須用五坐標(biāo)機(jī)床才能進(jìn)行加工,，葉輪類零件就是典型的代表。
傳統(tǒng)的葉輪加工工藝規(guī)劃方案一般包括開槽,、擴(kuò)槽和精加工,，其中開槽、擴(kuò)槽部分相當(dāng)于一般的粗加工階段,。大部分采用錐形球頭銑刀,，先在流道的中間部分進(jìn)行開槽,，然后采用側(cè)銑法從流道中心向兩邊逐步擴(kuò)展,，直到滿足葉片粗加工的余量要求為止,，最后再采用側(cè)銑或點(diǎn)銑法完成葉片的精加工。有資料表明,，開槽,、擴(kuò)槽階段的材料去除量很大，約為60％～90％,，因此粗加工的效率和工藝的優(yōu)劣對(duì)縮短加工周期及降低加工成本具有重要的意義,。
綜合葉輪零件粗加工所面臨的問(wèn)題和插銑加工的特點(diǎn)，很自然地就能想到插銑法是葉輪類零件粗加工的首選方案,。進(jìn)行了開式整體葉盤的通道插銑粗加工技術(shù)的研究,，利用直紋面逼近葉輪的葉型曲面，通過(guò)連接刀心和刀軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn),，規(guī)劃刀具軌跡,。但是該方法沒(méi)有考慮行距、步距的計(jì)算準(zhǔn)則,，無(wú)法保證插銑加工的材料去除率和加工效率(生成的刀具軌跡不一定最短),，而且該文獻(xiàn)采用對(duì)UG軟件的二次開發(fā)實(shí)現(xiàn)其算法，沒(méi)有形成擁有自主產(chǎn)權(quán)的計(jì)算機(jī)輔助制造(Computer Aided Manufacturing,，CAM)軟件,，對(duì)插銑加工深層次的研究不利。
現(xiàn)階段一些典型的商用CAM軟件如UG,，MasterCAM等雖然提供了部分插銑功能,，但通常這些功能只能在三坐標(biāo)機(jī)床上完成插銑加工，對(duì)像葉輪這樣的窄流道,、葉片扭曲大和深型腔,，需要用五坐標(biāo)機(jī)床才能完成加工的工件無(wú)能為力。因此,，本文在研究復(fù)雜型腔插銑算法的基礎(chǔ)上,，自主開發(fā)了葉輪零件數(shù)控加工專用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(Computer Aided Design，CAD)／CAM軟件,，提供了五坐標(biāo)插銑加工功能,，對(duì)開發(fā)擁有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的CAD／CAM系統(tǒng)有一定的借鑒意義。
綜合上述問(wèn)題和情況,，本文著力解決葉輪類零件的五坐標(biāo)插銑加工的若干關(guān)鍵技術(shù),，包括：
①插銑邊界矢量的生成,；
�,、谶吔缡噶恐g的插值算法；
�,、坌芯�,、步距的確定,。另外，本文還給出了在VERICUT仿真軟件中的仿真效果和實(shí)際的加工實(shí)驗(yàn),，以驗(yàn)證本算法的可行性,。
: V. l7 o9 `: ~2 T: `
2 插銑加工算法
在工業(yè)生產(chǎn)中所用的葉輪類零件的流道(型腔)形狀通常比較復(fù)雜(如圖2)，因此在生成刀具軌跡時(shí),，要求CAM軟件對(duì)刀軸的控制能力非常高,，既要保證插銑路徑均勻分布，又要保證刀具不同葉片表面發(fā)生干涉,。下面對(duì)插銑加工算法進(jìn)行詳細(xì)介紹,，這些算法構(gòu)成了插銑加工的關(guān)鍵技術(shù)。
圖2 被加工葉輪零件CAD模型
2.1 邊界矢量的生成
對(duì)于葉片形狀為自由曲面的葉輪,，可以采用將自由曲面擬合成直紋面,。因此，本文只討論直紋面葉輪邊界矢量的生成,。
在本文提出的插銑加工算法中,，邊界矢量的生成具有十分重要的意義。邊界矢量既可以保證刀具與葉片曲面不發(fā)生干涉和過(guò)切現(xiàn)象(在本算法中是應(yīng)用葉片直紋面的偏置面生成的,，不會(huì)干涉),，同時(shí)又是2.2節(jié)邊界矢量的插值算法進(jìn)行插值所依據(jù)的參照矢量，因此非常重要,。邊界矢量生成的基本原理如下：
在工程中,，直紋面參數(shù)方程的表達(dá)方式為
式中：w(u)和Q(u)分別為直紋面葉片的葉頂線和葉根線，U和v分別為u向和v向的參數(shù),。根據(jù)上述定義,，可以繪制如圖3所示的邊界矢量計(jì)算原理圖。
圖3 邊界矢量計(jì)算原理圖
參考圖3,，由三角形的幾何關(guān)系,，最終可以推出如下方程組：
式中：R為刀具半徑，L為圖3中P1P2的長(zhǎng)度,，γ為P1C1和P2C2的夾角,，α為P1C1和C1C2的夾角，d為刀具相對(duì)葉片的偏移距離,。該方程組是一個(gè)非線性二元方程組,，其中a和d為未知數(shù)，關(guān)于該方程組的詳細(xì)推導(dǎo)步驟,。通過(guò)解方程組求得的a和d,，就可以計(jì)算出偏離直紋面指定距離的矢量(即邊界矢量)。
本文邊界矢量的生成要依據(jù)吸力面和壓力面通過(guò)偏移一個(gè)刀具半徑來(lái)計(jì)算,，同時(shí)為了給精加工留有余量,，在偏移刀具半徑的基礎(chǔ)上,，再偏移一個(gè)加工余量(本文余量為0.1mm)計(jì)算得到。依據(jù)上述算法計(jì)算得到的邊界矢量如圖4所示,，接下來(lái)應(yīng)用2.2節(jié)的算法對(duì)這些邊界矢量進(jìn)行插值。
圖4 邊界矢量計(jì)算結(jié)果圖
: b& Y8 \! D/ W! L- J' N5 x 2.2 邊界矢量的插值算法 本算法的關(guān)鍵部分是在邊界矢量之間均勻地填充(插值)矢量作為插銑加工的刀軸方位,，從而在2.1節(jié)已生成邊界矢量的情況下,，通過(guò)對(duì)邊界矢量進(jìn)行合理插值，最終完成對(duì)邊界矢量所包圍的型腔(對(duì)葉輪來(lái)說(shuō)即為流道)的加工,。這里最關(guān)鍵的是對(duì)邊界矢量的插值要合理,。
這是因?yàn)榫鶆虻那谐繉?duì)插銑加工很重要，插銑是靠刀具的邊緣沿著Z軸的方向從上到下啃切,，插值矢量之間均勻的分布可以保證插銑加工中的側(cè)吃刀量恒定,，如圖1所示。
為生成均勻側(cè)吃刀量,，本文在對(duì)比了多種插值方法的基礎(chǔ)上,，將四元數(shù)插值法引入到插銑葉輪流道的刀具軌跡規(guī)劃算法中，較好地解決了插銑過(guò)程中均勻切除量刀具路徑生成的問(wèn)題,。下面將詳細(xì)介紹四元數(shù)法生成均勻切除量的刀具軌跡算法,。
在五坐標(biāo)插銑加工刀具軌跡生成算法中，最重要的是控制刀軸矢量,，而刀軸矢量代表了旋轉(zhuǎn)方向,，因此依據(jù)邊界刀軸矢量的插值實(shí)際上是一種剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的插值算法。如前所述,，旋轉(zhuǎn)控制得越均勻,，插銑過(guò)程中的吃刀量也就越均勻。
在理論界,，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)有多種表示方式,，如歐拉角定義方式、旋轉(zhuǎn)矩陣定義方式和四元數(shù)方式,。
傳統(tǒng)上通常使用正交矩陣代表歐拉角來(lái)描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),，這是由于剛體繞X，Y和Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣形式簡(jiǎn)單且應(yīng)用廣泛,，但使用歐拉角和旋轉(zhuǎn)矩陣的方式來(lái)定義旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)存在如下缺陷：
�,、偃狈χ庇^性，直觀上歐拉角和旋轉(zhuǎn)矩陣不能明確地看出物體的方位,；
�,、跉W拉角和旋轉(zhuǎn)矩陣在有些情況下會(huì)丟失一個(gè)自由度，在這種情況下,，一個(gè)方向?qū)?yīng)多個(gè)旋轉(zhuǎn),，從而產(chǎn)生萬(wàn)向鎖問(wèn)題,；
③實(shí)現(xiàn)插值比較困難,；
�,、軐�(duì)旋轉(zhuǎn)的表達(dá)不明確，給定一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣,，無(wú)法反求其所代表的旋轉(zhuǎn),；
⑤表達(dá)形式存在冗余,，如正交旋轉(zhuǎn)矩陣的表達(dá)方式中存在冗余數(shù)據(jù),。
四元數(shù)恰恰彌補(bǔ)了歐拉角和旋轉(zhuǎn)矩陣的不足：
①幾何特征明顯,；
�,、讵�(dú)立于坐標(biāo)系；
�,、鄄逯邓惴ê�(jiǎn)單,；
④表達(dá)形式緊湊,；
�,、莶淮嬖谌f(wàn)向鎖問(wèn)題；
�,、藿M合旋轉(zhuǎn)容易(只需將兩個(gè)四元數(shù)相乘),。
因此，本文采用四元數(shù)來(lái)描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),。
四元數(shù)的定義包含一個(gè)標(biāo)量分量和一個(gè)三維分量,，通常將標(biāo)量分量記為W，將向量分量記為單一的v或分開的x,，y和z,，表示為［w，x,，y,，z］或［w，v］,。目前,，四元數(shù)的加、減,、乘,、除的標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算已有定義。本文中，對(duì)插銑加工生成插值的刀軸矢量最有用的運(yùn)算是球坐標(biāo)線性插值(Slerp),。Slerp可以在兩個(gè)四元數(shù)(代表旋轉(zhuǎn),，本文即刀軸矢量)之間進(jìn)行平滑插值，這是普通的插值如線性插值(Lerp)所辦不到的,。為了比較Lerp和Slerp,，下面給出其公式。普通的線性插值公式為
Slerp的插值公式為
式中：h為插值參數(shù),，q0和q1表示四元數(shù),，q0-1表示四元數(shù)的倒數(shù)，其計(jì)算公式為
式中：q0*表示四元數(shù)的共軛,；‖q0‖表示四元數(shù)的模。
在平面內(nèi),，利用式(3)和式(4),，針對(duì)Lerp插值和Slerp插值的結(jié)果如圖5所示�,？梢钥闯�,，Slerp的插值結(jié)果分布得更均勻(均分了整個(gè)圓弧)，可以保證插銑過(guò)程中側(cè)吃刀量一直保持均勻,。
圖5 Lerp和Slerp插值算法比較
# q: O+ {+ K* B: s2.3 行距和步距的計(jì)算 即便確定了插值算法,，可以想象，如果邊界矢量的插值過(guò)于稀疏,，則在插銑加工后,，流道中的金屬殘留量會(huì)過(guò)大，甚至?xí)趦蓚�(gè)相鄰插銑刀具路徑之間出現(xiàn)高聳的殘留金屬的情況,；但插值的刀軸矢量也不能過(guò)于稠密,，過(guò)于稠密雖然能夠得到較好的插銑加工表面，但由于走刀次數(shù)太多,，使得插銑的優(yōu)勢(shì)喪失殆盡,。因此，行距和步距的確定也是至關(guān)重要的,。
在傳統(tǒng)的三坐標(biāo)插銑加工中(如圖1),，行距和步距的確定相對(duì)比較容易，而在五坐標(biāo)加工中,，行距和步距的確定就變得困難了,。這是由于相鄰插銑刀具路徑之間刀軸角度的變化導(dǎo)致切削范圍為一個(gè)不規(guī)則的錐形區(qū)域，使計(jì)算比較繁瑣和困難,。多坐標(biāo)插銑加工不規(guī)則錐形區(qū)域原理圖如圖6所示,。圖6中，令兩個(gè)相鄰插銑工步刀心點(diǎn)的坐標(biāo)為Ol和O2，型腔上表面到刀心點(diǎn)的連線距離為L(zhǎng),，兩個(gè)相鄰插銑工步的刀具邊緣的交點(diǎn)為B,，過(guò)B點(diǎn)做刀軸矢量的垂線并同刀軸矢量相交于P1，P2點(diǎn),，則
式中R為刀具半徑,。將BP1O1O2P2所包圍形成的五邊形提取出來(lái)，如圖7所示,。
圖6 多坐標(biāo)插銑加工不規(guī)則錐形區(qū)域原理圖
圖7 行距,、步距計(jì)算原理圖
在圖7中，令C為O1O2連線的中點(diǎn),，│O1O2│=H,，過(guò)C做BP1的垂線交于D點(diǎn),，過(guò)O1點(diǎn)做面的垂線交于E點(diǎn)，將相鄰工步的刀軸矢量的夾角命名為傾角距，用β表示,。由于BD+DP=R,，在△CBD和△CO1E中,，根據(jù)三角幾何關(guān)系,，可以得到等式
又根據(jù)插值原理(如圖4)，令每一行邊界矢量的夾角為A,，邊界矢量刀心點(diǎn)之間的距離為H0,，因?yàn)椴逯邓惴ㄒ谶吔缡噶恐g進(jìn)行均勻插值，即步距要相同,，傾角距也要相同,，二者成比例，則可以得到等式
聯(lián)立式(7)和式(8),，得到一個(gè)二元非線性方程組
式中：L,，R，A,，H0為已知數(shù),，β和H為未知數(shù)。由于這是一個(gè)二元非線性方程組,，無(wú)法手工求得結(jié)果,，只能采用數(shù)值分析中的擬牛頓法才能計(jì)算出結(jié)果。
求得β和H的值后,，就得到了平均步距和傾角距,，在行方向的插值結(jié)果就確定了。
在列方向的插值結(jié)果,，即行距的計(jì)算原理同步距的計(jì)算方法相同,，只是被插值的矢量不是每一行的邊界矢量,，而是葉片兩端的邊界矢量。H0的長(zhǎng)度也應(yīng)該是葉片輪轂面曲線的長(zhǎng)度,。
3 刀軸矢量和輪轂面的求交算法
在2.3節(jié)中解決了插銑加工的刀軸矢量的計(jì)算方法,。雖然刀軸矢量的計(jì)算方法在五坐標(biāo)插銑加工刀具軌跡規(guī)劃算法中占有十分重要的地位，但是刀心點(diǎn)的計(jì)算也是非常重要的,。如果沒(méi)有刀心點(diǎn)的計(jì)算,，就無(wú)法得到插銑加工的插銑深度，也是不能應(yīng)用到工程實(shí)際中的,。本章將介紹刀心點(diǎn)的計(jì)算方法,。
刀心點(diǎn)計(jì)算的基本原理是求取刀軸矢量(空間直線)和輪轂面的偏移面(本例為圓弧截面輪轂面的偏移面)的交點(diǎn)。
在計(jì)算幾何領(lǐng)域內(nèi),，求交點(diǎn)的計(jì)算方法很多,，由于本文葉輪的輪轂截面為圓弧截面，采用解析幾何的方法來(lái)計(jì)算交點(diǎn),。
根據(jù)計(jì)算幾何的基本原理,，一圓弧截面繞Z軸旋轉(zhuǎn)后的曲面方程可以表示為
刀軸矢量抽象成的空間直線的方程為
將方程(11)帶入方程(10)中，可以得到如下一元二次非線性方程：
該方程形式雖然比較復(fù)雜,，但是因?yàn)橹皇顷P(guān)于參數(shù)t的一元二次方程,，所以簡(jiǎn)單地應(yīng)用數(shù)值分析中的對(duì)分法就能夠求得其結(jié)果t,。將t帶入式(11),，可求得輪轂面的偏移面與刀軸矢量的交點(diǎn)，即插銑加工該工步的刀心點(diǎn)坐標(biāo),。
4 仿真和實(shí)際加工驗(yàn)證
應(yīng)用上述刀軸矢量和刀心點(diǎn)的計(jì)算方法,，本文開發(fā)了葉輪銑削加工專用CAD／CAM軟件，軟件包括插值曲線和曲面造型功能,、擬合曲線和曲面造型功能,、側(cè)銑加工刀具軌跡規(guī)劃算法、點(diǎn)銑加工刀具軌跡規(guī)劃算法,、插銑加工刀具軌跡規(guī)劃算法,、后置處理功能等。應(yīng)用本軟件,，可以直接生成葉輪類零件的五坐標(biāo)插銑加工刀具軌跡,。圖4所示為應(yīng)用本CAM軟件對(duì)葉輪的造型結(jié)果。
通常葉輪類零件具有幾何對(duì)稱性,，只要生成一個(gè)流道的刀具軌跡,，其余流道的刀具軌跡都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)和復(fù)制生成。因此本文只依據(jù)一個(gè)流道生成刀具軌跡,，其余通過(guò)復(fù)制就可以了,。依據(jù)本文所提出的插銑刀具軌跡規(guī)劃算法，計(jì)算出的刀具軌跡如圖8所示。
圖8 插銑加工生成的刀具路徑
由于五坐標(biāo)加工比較復(fù)雜,，為防止在實(shí)際加工中造成過(guò)切和干涉問(wèn)題,，在機(jī)床上進(jìn)行實(shí)際加工之前，通常借助計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行刀具軌跡的仿真驗(yàn)證,，檢查刀具軌跡和后置處理是否正確,。本文采用VERICUT軟件驗(yàn)證本CAM軟件生成的刀具軌跡(如圖9)，并分別仿真了插銑加工中的抬刀和插銑加工過(guò)程,。
圖9 仿真加工中抬刀和插銑加工
+ `) `' i5 D# N2 R另外,，由于插銑加工的特殊性，單純利用VERICUT無(wú)法對(duì)刀具和被加工材料之間的切削作用和效果進(jìn)行仿真,，必須進(jìn)行實(shí)際的切削實(shí)驗(yàn),，才能夠驗(yàn)證本文的插銑加工算法是否可行。為此,，本文在一臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸為B,，C的五坐標(biāo)機(jī)床上進(jìn)行了實(shí)際切削加工實(shí)驗(yàn)，如圖10和圖11所示,，分別為流道加工和葉輪成品的圖片,。加工過(guò)程中采用的刀具為直徑6mm的球頭銑刀。 圖10 最后一個(gè)流道加工圖
圈11 插銑加工生成的刀具路徑
圖10為最后一個(gè)流道插銑加工中的一個(gè)工步,，圖11為插銑粗加工完成后的葉輪零件,。不同于普通銑削方法，插銑加工完成后的葉輪輪轂面呈現(xiàn)魚鱗狀的刀痕,，而不是呈放射線形狀的軌跡,。
該葉輪一個(gè)流道的加工時(shí)間為30min左右，再加上精加工的時(shí)間,，不超過(guò)50min,。而采用傳統(tǒng)的方法，在本機(jī)床上,，采用相同的刀具和相同的進(jìn)給速度,，至少需要1h，可見(jiàn)插銑加工方法在一定程度上提高了加工效率,。
5 結(jié)束語(yǔ)
本文提出了葉輪類零件五坐標(biāo)插銑加工的刀具軌跡生成算法,，應(yīng)用四元數(shù)球坐標(biāo)插值方法計(jì)算了五坐標(biāo)插銑加工中的插值刀軸矢量，重點(diǎn)解決了多坐標(biāo)插銑加工中行距和步距的計(jì)算方法,，并自主開發(fā)了葉輪類零件插銑加工專用CAD/CAM軟件,。利用該軟件生成了某葉輪零件的插銑加工刀具軌跡，在VERICUT仿真加工軟件中進(jìn)行了仿真加工驗(yàn)證,，并在B,，C旋轉(zhuǎn)軸的五坐標(biāo)機(jī)床上進(jìn)行了實(shí)際插銑加工實(shí)驗(yàn),。仿真和加工實(shí)驗(yàn)證明，本插銑加工算法兼顧了葉輪零件粗加工的材料去除率和加工效率,，為葉輪零件的粗加工工藝提供了新的選擇方案,。
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