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標(biāo)題: 如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子，建議你別搞測(cè)度論 [打印本頁(yè)]

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-8 11:38
標(biāo)題: 如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子，建議你別搞測(cè)度論

（一）關(guān)于無(wú)窮

當(dāng)我們使用“無(wú)窮”這個(gè)詞的時(shí)候,，我們必須時(shí)刻謹(jǐn)記，這個(gè)詞有兩種截然不同的意義——不,，我這里說(shuō)的不是亞里士多德關(guān)于實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的那些繞口令，而是某些重要得多的本質(zhì)問(wèn)題，對(duì)他們的清晰闡釋開(kāi)始于偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家康托Georg Cantor (1845-1918)：當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)集合有無(wú)窮多個(gè)元素的時(shí)候，我們必須指明這里的無(wú)窮是哪一種,，是“可數(shù)無(wú)窮”還是“不可數(shù)無(wú)窮”。雖然都是無(wú)窮集合,，但是它們會(huì)體現(xiàn)出截然不同的性質(zhì)。

為了說(shuō)明這一問(wèn)題,，我們引進(jìn)集合的“勢(shì)（cardinality）”的概念,。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，勢(shì)就是集合的元素的個(gè)數(shù),。一個(gè)集合有三個(gè)元素,，我們就稱(chēng)其勢(shì)為3。兩個(gè)集合如果元素個(gè)數(shù)相等,，我們就稱(chēng)它們?yōu)榈葎?shì)的,。——很顯然,，要判斷兩個(gè)集合是不是等勢(shì),，只需要看這兩個(gè)集合之間能不能建立起元素的一一對(duì)應(yīng)即可，如果可以的話(huà),，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合的元素是一樣多的,。

到這里為止都顯得很簡(jiǎn)單�,？墒亲钣腥さ牟糠竹R上就要出現(xiàn)了：康托指出,，不但對(duì)于有限個(gè)元素的集合我們可以討論它們的勢(shì)，對(duì)于無(wú)窮個(gè)元素的集合,，我們同樣可以討論它們之間是否等勢(shì),。換句話(huà)說(shuō)，我們可以討論兩個(gè)無(wú)窮集合的元素是不是一樣多,！

之所以如此,，是因?yàn)榧现g的“一一對(duì)應(yīng)”本質(zhì)上只是個(gè)數(shù)學(xué)概念，是可以被精確研究的對(duì)象（請(qǐng)回憶高中數(shù)學(xué)課本關(guān)于映射的那一章）,。從而,，隨便拿兩個(gè)集合來(lái),，它們之間是否能建立一一對(duì)應(yīng)只是數(shù)學(xué)上的問(wèn)題而已。

以下是一些最基本也是最著名的例子和命題,，請(qǐng)盡量耐心的閱讀,。所有這些陳述都是可以基于最簡(jiǎn)單的形式邏輯給出嚴(yán)格證明的，證明可以在參考文獻(xiàn)[1]上查到：

每一個(gè)集合都和它自身等勢(shì),。
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注：廢話(huà),。
全體正整數(shù)的集合和全體正偶數(shù)的集合等勢(shì)。, U: p2 ~+ N% M' ~% \

注：這是第一個(gè)有趣然而迷惑人的結(jié)果,。我們等于是在說(shuō)：一個(gè)集合可以和它的一部分一樣多,！——但是這并不是一個(gè)悖論。我們通常覺(jué)得一個(gè)集合不能和它的一部分一樣多只是針對(duì)有限集合而言的,，本來(lái)就沒(méi)人說(shuō)過(guò)無(wú)限集合不能和它的一部分一樣多,，只是有時(shí)候大家會(huì)不自覺(jué)地有這個(gè)誤解而已。
全體正整數(shù)的集合和全體有理數(shù)的集合等勢(shì),。（什么是有理數(shù)來(lái)著,？查書(shū)去！）2 Y5 X; E& d" R, W

注：這是在數(shù)學(xué)上很重要的一個(gè)例子,，說(shuō)明一個(gè)實(shí)數(shù)中的稠密集可以和一個(gè)離散集等勢(shì),，不過(guò)大家看到這里大概已經(jīng)開(kāi)始打瞌睡了……跳過(guò)這個(gè)例子！
全體正整數(shù)的集合和全體實(shí)數(shù)的集合不等勢(shì),。
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注：睜大眼睛,，迄今為止最重要的一句話(huà)出現(xiàn)了！你永遠(yuǎn)不可能在全體正整數(shù)的集合和全體實(shí)數(shù)的集合之間建立起一一對(duì)應(yīng)來(lái),。對(duì)這個(gè)陳述的證明是數(shù)學(xué)上最有趣也最迷人的證明之一,，可惜的是篇幅所限我不能在這里證明給大家看。那么只討論結(jié)論好了：并不是所有的無(wú)窮集合都是等勢(shì)的,，有一些無(wú)窮集合比另一些無(wú)窮集合的元素更多,，換句話(huà)說(shuō)，無(wú)窮之間也是有大小的,。
任給一個(gè)無(wú)窮集合,，我們都能夠造出一個(gè)集合包含它，而且和它不等勢(shì),。
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注：換句話(huà)說(shuō),，無(wú)窮和無(wú)窮相比，沒(méi)有最大,，只有更大,。——但是請(qǐng)注意,，雖然我們能夠造出越來(lái)越大的無(wú)窮集合,，但是我們并不真正對(duì)那些太大的無(wú)窮感興趣,，因?yàn)楹瓦@個(gè)世界沒(méi)什么關(guān)系。
如果兩個(gè)集合都和第三個(gè)集合等勢(shì),，那么它們彼此也等勢(shì),。
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注：好像也是廢話(huà)，但是它引出了下面的重要陳述,。
有很多集合都和全體正整數(shù)的集合等勢(shì),，從而它們彼此也等勢(shì)，我們稱(chēng)所有這樣的集合為“可數(shù)無(wú)窮的（countably infinite）”,。有很多無(wú)窮集合比全體正整數(shù)的集合的勢(shì)更大,，我們稱(chēng)所有這樣的集合為不可數(shù)無(wú)窮的（uncountably infinite）。但是,，不存在無(wú)窮集合的勢(shì)比全體正整數(shù)的集合的勢(shì)更小,。
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注：我們待會(huì)兒再來(lái)討論為什么起這么兩個(gè)名字。前面的例子告訴我們,，全體正偶數(shù)的集合是可數(shù)無(wú)窮的,，全體有理數(shù)的集合是可數(shù)無(wú)窮的，但是全體實(shí)數(shù)的集合是不可數(shù)無(wú)窮的,。
在不可數(shù)無(wú)窮集合中間，有些集合是和全體實(shí)數(shù)的集合等勢(shì)的,，這些集合被稱(chēng)為“連續(xù)統(tǒng)（continuum）”
7 O A" i5 N8 v& q h3 C
注：好了,，現(xiàn)在我們對(duì)全體無(wú)窮集合建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的分類(lèi)。最小的一類(lèi)稱(chēng)為可數(shù)無(wú)窮集,。剩下的都叫不可數(shù)無(wú)窮集,。不可數(shù)無(wú)窮集里面又有特殊的一類(lèi)叫作連續(xù)統(tǒng)，剩下當(dāng)然還有一些非連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)無(wú)窮集,，但是它們幾乎和真實(shí)世界沒(méi)有任何關(guān)系,，所以忽略之。（有人不愿意忽略它們,，非要去研究里面的一些麻煩的問(wèn)題,，于是產(chǎn)生了數(shù)學(xué)中間最讓人頭暈的一部分結(jié)論，比如什么哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碇?lèi)……這個(gè)定理偏偏還特別著名,，很多人都問(wèn)過(guò)我它究竟說(shuō)的是啥,。相信我，你不可能弄明白的,。）
也就是說(shuō),，我們真正關(guān)心的是兩類(lèi)特殊的無(wú)窮集合，一類(lèi)稱(chēng)為可數(shù)無(wú)窮集,，一類(lèi)稱(chēng)為連續(xù)統(tǒng),。所有的可數(shù)無(wú)窮集彼此等勢(shì),，所有的連續(xù)統(tǒng)彼此等勢(shì)，但是任何可數(shù)無(wú)窮集和連續(xù)統(tǒng)之間不等勢(shì),，后者總是更大一些……真繞嘴阿,。
下面是一些可數(shù)無(wú)窮集和連續(xù)統(tǒng)的例子：
可數(shù)無(wú)窮集：
自然數(shù)集，整數(shù)集,，有理數(shù)集,。（基本上，如果你在平面上或者直線(xiàn)上隨手點(diǎn)無(wú)窮個(gè)點(diǎn),，并且這些點(diǎn)彼此都不挨著,，那么它們的總數(shù)就是可數(shù)無(wú)窮的。但是也存在一些不這么簡(jiǎn)單的可數(shù)無(wú)窮集,。）
連續(xù)統(tǒng)：
實(shí)數(shù)集,，直線(xiàn)上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，平面上點(diǎn)的個(gè)數(shù),，一個(gè)正方形里點(diǎn)的個(gè)數(shù),，或者簡(jiǎn)而言之，一切幾何對(duì)象里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是連續(xù)統(tǒng),。（這里一個(gè)常常被人提到的推論就是直線(xiàn)上的點(diǎn)和平面上的點(diǎn)一樣多,，——都是連續(xù)統(tǒng)那么多。其實(shí)證明很簡(jiǎn)單,，但是一言難盡,，請(qǐng)查書(shū)去。）
好了,，現(xiàn)在我們可以討論這兩個(gè)名字是怎么來(lái)的了,。請(qǐng)注意，所有的可數(shù)無(wú)窮集都是可以和正整數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)的,，這是什么意思呢,？這意味著，我們可以把一個(gè)可數(shù)無(wú)窮集中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)到一個(gè)正整數(shù),，這相當(dāng)于給他們編了號(hào)碼,，從而我們可以去數(shù)它們（這就是可數(shù)這個(gè)詞的來(lái)歷）。也就是說(shuō),，我們可以按照1號(hào),、2號(hào)、3號(hào)這么一直數(shù)下去,，雖然總數(shù)是無(wú)窮的,，但是只要我們?cè)诶碚撋弦恢睌?shù)完所有的自然數(shù)，我們就能真正數(shù)遍這個(gè)集合的所有元素（至少在想像里是這樣）,。
而連續(xù)統(tǒng)集合卻不是這樣,。一個(gè)直線(xiàn)上的點(diǎn)是連續(xù)統(tǒng),，這就是說(shuō)，無(wú)論怎么巧妙的給這些點(diǎn)編號(hào),，我們都是不可能給所有的點(diǎn)都編上號(hào)碼然后一個(gè)一個(gè)的數(shù)下去把它們都數(shù)完的,。它們是“不可數(shù)”的。
有人會(huì)說(shuō),，這不是自欺欺人么,？反正都是無(wú)窮個(gè)，反正事實(shí)上總也不可能數(shù)得完,，那么在理論上區(qū)分“想像中數(shù)得完”和“想像中也數(shù)不完”有什么實(shí)際意義呢,？
有的。正是這一點(diǎn)微妙的差別,，使得有些事情我們能夠?qū)蓴?shù)集去做卻不能對(duì)連續(xù)統(tǒng)集合去做,，也正是這一點(diǎn)差別，促成了從沒(méi)有大小的點(diǎn)到有大小的直線(xiàn)和平面之間的巨大的飛躍,。

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作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-8 11:39

（二）測(cè)度的建立

讓我們暫時(shí)放下關(guān)于無(wú)窮的那些討論,，回到主題：我們通常所說(shuō)的長(zhǎng)度面積體積這些詞，究竟是什么意思,？

為了更清楚的闡明這個(gè)主題,，讓我們把目光只集中在最簡(jiǎn)單的一維情形，也就是說(shuō),，我們只考慮“長(zhǎng)度” 這個(gè)詞,。我們希望，取出直線(xiàn)上的一部分,，就有一個(gè)“長(zhǎng)度” 存在。如果能做到這一點(diǎn),，那么類(lèi)似的,，面積和體積之類(lèi)的高維詞匯也可以類(lèi)似的得以理解。

我們把目前要回答的問(wèn)題列在下面：

什么是長(zhǎng)度,？
是不是直線(xiàn)上任何一部分都可以有長(zhǎng)度,？8 e+ `) X; p8 p4 U/ ^% }% w0 h

直線(xiàn)上的一個(gè)線(xiàn)段當(dāng)然應(yīng)該有長(zhǎng)度，直線(xiàn)上的兩段分離的線(xiàn)段也有總長(zhǎng)度,，單點(diǎn)有沒(méi)有長(zhǎng)度呢,？隨便從直線(xiàn)上挖出一些點(diǎn)來(lái)得到的也許是虛虛實(shí)實(shí)的一個(gè)“虛線(xiàn)段”有沒(méi)有長(zhǎng)度？是不是我們從直線(xiàn)上任意取出一個(gè)子集合(線(xiàn)段啦單點(diǎn)啦都可以看成是直線(xiàn)的特殊的子集合),，都可以定義它的長(zhǎng)度,？——這件事無(wú)論在數(shù)學(xué)上還是應(yīng)用上都是重要的，如果能夠給直線(xiàn)的任何子集定義長(zhǎng)度,，那就太方便了,。
如果上面這件事是可以的話(huà),，那么隨便給一個(gè)直線(xiàn)上的點(diǎn)集，長(zhǎng)度怎么計(jì)算,？# ^+ o5 J1 ?2 u* y

等等等等,。

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)中這些問(wèn)題都能夠得到解答,，但是首先讓我們把上面問(wèn)題里的“長(zhǎng)度” 這個(gè)詞都換成更準(zhǔn)確的一個(gè)術(shù)語(yǔ)：測(cè)度(measure),。之所以要采用這么一個(gè)新造的詞，首先是因?yàn)椤伴L(zhǎng)度”有時(shí)候有局限性,。一個(gè)線(xiàn)段的長(zhǎng)度好理解,，一個(gè)復(fù)雜的點(diǎn)集，說(shuō)長(zhǎng)度就會(huì)顯得很奇怪,；不僅如此,，在二維情形下我們還要研究面積，三維還要研究體積,，四維還要研究不知道什么積……為了省去發(fā)明一個(gè)又一個(gè)新詞的苦惱,，我們把這些東西統(tǒng)一叫做二維測(cè)度，三維測(cè)度……一了百了,。

好吧,，那么，我們來(lái)定義(一維)測(cè)度,。

——不,，不要誤會(huì)，我并不是要在此刻寫(xiě)出一大段難懂的話(huà),，告訴大家“測(cè)度就是什么什么什么什么,。” 或者更謙遜一點(diǎn),，說(shuō)“我認(rèn)為,，測(cè)度就是什么什么什么什么�,！� ——也許這是一般人看來(lái)自然不過(guò)的工作方式,，但不是數(shù)學(xué)家的。

這是因?yàn)�,，我們現(xiàn)在要定義的是某種特別基礎(chǔ)的概念,。也許在定義某些很復(fù)雜的高層概念的時(shí)候這種方式很自然，可是概念越基礎(chǔ),，這種方式帶來(lái)的問(wèn)題就越大,。關(guān)于測(cè)度這種層次的概念幾乎必然伴隨著用語(yǔ)言難于精確描述的種種晦澀的思考，一旦一個(gè)人試圖把他對(duì)這個(gè)詞的理解宣諸筆墨，那么無(wú)論他多么小心翼翼的整理他的陳述,，在別人看起來(lái)他的定義都必然漏洞百出,，有無(wú)數(shù)可以商榷的地方�,！�?yàn)檫@個(gè)概念在整個(gè)邏輯體系中的位置過(guò)于基礎(chǔ),，任何商榷又都必然說(shuō)起來(lái)云山霧罩，像哲學(xué)家們通常進(jìn)行的關(guān)于基礎(chǔ)概念的爭(zhēng)論一樣令人頭昏腦脹,。如果數(shù)學(xué)家們要開(kāi)會(huì)用這種方法給出測(cè)度的定義,，那一百個(gè)數(shù)學(xué)家一定會(huì)提出一百零一種定義來(lái)，最終的結(jié)果是什么有效的結(jié)論也得不到,。

數(shù)學(xué)家們采用的是完全不同的方式：我們先不要貿(mào)然去說(shuō)“什么是測(cè)度”,，而是先問(wèn)問(wèn)自己，當(dāng)我們想發(fā)明一個(gè)新的定義的時(shí)候,，我們?cè)谶@個(gè)定義的背后是想達(dá)到怎樣一種目的,？換句話(huà)說(shuō)，我們想讓這個(gè)定義實(shí)現(xiàn)哪些事情,？

首先,，測(cè)度——不管它具體怎么定義，其作用的對(duì)象按照我們的期望是直線(xiàn)上的任意一個(gè)子集,，而最后得到的測(cè)度應(yīng)該是一個(gè)具體的數(shù)字,。也就是說(shuō)，所謂定義測(cè)度,，就是我們需要找到一種方法,，使得隨便拿來(lái)直線(xiàn)上的一個(gè)子集，我們都能夠最終得到一個(gè)數(shù)字作為其“長(zhǎng)度”,。（在這里我們把無(wú)窮大也看成是數(shù)字,，例如整根直線(xiàn)的測(cè)度就是無(wú)窮大。）

然后,，這種方法總要滿(mǎn)足一些必要的約束,。——不能隨便給一個(gè)線(xiàn)段標(biāo)上一個(gè)數(shù)字,，就說(shuō)它是測(cè)度了。這些約束有哪些呢,？

第一,，空集（注意是說(shuō)空集而不是說(shuō)單點(diǎn)集）本身也是直線(xiàn)的子集，也應(yīng)該有個(gè)測(cè)度,。我們應(yīng)當(dāng)保證空集的測(cè)度是零,。這是很顯然的，否則這個(gè)測(cè)度就毫無(wú)實(shí)際意義了,。

第二,，既然每個(gè)子集都有一個(gè)測(cè)度,，那么把兩個(gè)彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也應(yīng)該有個(gè)測(cè)度，并且這個(gè)測(cè)度應(yīng)該等于兩者之和,�,！@也是很直觀的要求。兩個(gè)線(xiàn)段如果不相交,，那么他們的總長(zhǎng)度應(yīng)該等于兩者長(zhǎng)度之和,。更高維的情況也一樣，兩個(gè)二維圖形如果不相交,，那么總面積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诟髯悦娣e之和,，諸如此類(lèi)。

更進(jìn)一步,，三個(gè)不相交子集的測(cè)度之和也應(yīng)該等于這三個(gè)子集并起來(lái)的集合的測(cè)度,，四個(gè)也對(duì)，五個(gè)也對(duì),，依此類(lèi)推,，無(wú)窮個(gè)不相交子集的測(cè)度之和也應(yīng)該等于把它們并起來(lái)得到的集合的測(cè)度�,！⒁�,，是可數(shù)無(wú)窮個(gè)！

(為什么呢,？直接說(shuō)任意無(wú)窮個(gè)不好么,？干嘛只限定是可數(shù)無(wú)窮個(gè)？)

數(shù)學(xué)家是很謹(jǐn)慎的,。上面這個(gè)性質(zhì)被稱(chēng)為可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合的測(cè)度的“可加性” ,，承認(rèn)可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合有可加性是不得不為之，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中我們確實(shí)常常會(huì)遇到對(duì)可數(shù)無(wú)窮個(gè)子集求總測(cè)度的問(wèn)題,，可是任意無(wú)窮個(gè)子集的測(cè)度也能相加,，這個(gè)陳述就太強(qiáng)大了，我們一時(shí)還說(shuō)不好測(cè)度有沒(méi)有這么強(qiáng)的性質(zhì),，還是先只承認(rèn)可加性對(duì)可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合成立好了,。

第三……

“且慢” ，數(shù)學(xué)家說(shuō),，“先別找太多的約束,，看看這兩條約束本身能夠在多大程度上給出測(cè)度的定義好了�,！�

(什么嘛，這兩條約束根本什么都沒(méi)說(shuō)。第一條是廢話(huà),，第二條也是很顯然的性質(zhì),，要是只滿(mǎn)足這兩條就可以叫做測(cè)度,，那測(cè)度的定義也太寬松了,，我隨隨便便就能構(gòu)造出好多種不同的測(cè)度出來(lái)。)

也許是這樣,，可是到時(shí)候再添上新的約束也不遲,。這也是數(shù)學(xué)家們常用的辦法，先定義盡量寬松的概念,，然后再一點(diǎn)一點(diǎn)的附加條件,，得到更細(xì)致和特殊的子概念。就目前的情況來(lái)說(shuō),，看起來(lái)這兩條約束確實(shí)是寬松了點(diǎn)……

不幸的是——也許出乎你的意料——這兩條約束不是太寬松,，而是已經(jīng)太嚴(yán)苛了。我們可以證明,，給直線(xiàn)的每個(gè)子集都標(biāo)上數(shù)字作為測(cè)度,，保證空集的測(cè)度是零，并且測(cè)度滿(mǎn)足可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合的可加性,，這件事情在邏輯上并無(wú)內(nèi)在的矛盾,，但是這樣的測(cè)度必然具有一些數(shù)學(xué)上非常古怪的性質(zhì)。也就是說(shuō),，這樣的測(cè)度根本不能用來(lái)作為對(duì)長(zhǎng)度的定義,！

（關(guān)于這件事的證明其實(shí)很簡(jiǎn)單，但是需要一點(diǎn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能讀懂,，詳情可以參考文獻(xiàn)[1],。關(guān)于什么是“古怪的性質(zhì)”，后面還會(huì)提及,。）

在這種情形下,，我們只好退而求其次，減少對(duì)測(cè)度這個(gè)概念的期望,�,！墒乔懊嫣岬降膬蓷l性質(zhì)都再基本不過(guò)了，如果連它們都不能滿(mǎn)足,，我們定義出來(lái)測(cè)度又有什么用呢,？——于是數(shù)學(xué)家們另辟蹊徑，不是放松這兩條限制,，而是放松它們的適用范圍：我們不去強(qiáng)求測(cè)度能對(duì)直線(xiàn)的每個(gè)子集都有定義,，也就是說(shuō)，我們只挑出直線(xiàn)的一些子集來(lái)定義測(cè)度,，看看能不能避免邏輯上的困境,。

需要挑出那些子集呢？很顯然,，我們希望對(duì)于平時(shí)人們能接觸到的各種常見(jiàn)的子集都能定義測(cè)度,，所以單點(diǎn)集是需要的，線(xiàn)段也是需要的,，而若干線(xiàn)段的交集或并集（這里若干還是指至多可數(shù)個(gè)）也是需要的,，對(duì)它們的交集或并集再作交集或者并集也是需要的……

在數(shù)學(xué)中，我們把所有線(xiàn)段反復(fù)做交集或并集生成的這一大類(lèi)集合稱(chēng)為可測(cè)集（當(dāng)然它有更嚴(yán)格的定義,，不過(guò)大概就是這個(gè)意思）,。不要小看這種生成方式，事實(shí)上,，你能想象得到的直線(xiàn)的子集其實(shí)都是可測(cè)集,，——要找出一個(gè)非可測(cè)集的集合反倒是有點(diǎn)困難的事情。雖然可測(cè)集不包括直線(xiàn)的全體子集,，但是如果我們能對(duì)所有可測(cè)集定義合理的測(cè)度,，那這個(gè)測(cè)度也足以應(yīng)付人們的需要了。

所幸的是這確實(shí)是可以做到的,。在測(cè)度論中有很大的一部分篇幅是用來(lái)論述測(cè)度是怎么對(duì)可測(cè)集得以建立的,，這部分內(nèi)容一般被表述為一個(gè)稱(chēng)為Caratheodory’s theorem的理論。言簡(jiǎn)意賅地說(shuō)：是的,，只針對(duì)可測(cè)集定義的,，滿(mǎn)足前面那兩條假設(shè)的“合理”測(cè)度總是能夠建立得起來(lái)的。

這里所謂的“合理”,，就是說(shuō)它能夠用來(lái)作為我們心目中那個(gè)“長(zhǎng)度”而存在,。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，讓我們想想我們離我們的目的地還差多遠(yuǎn)：直到現(xiàn)在為止,，我們還是完全不知道一個(gè)測(cè)度究竟是什么樣子,。舉例來(lái)說(shuō)，按照我們的想法,，一個(gè)單點(diǎn)集的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是零（對(duì)應(yīng)于點(diǎn)沒(méi)有長(zhǎng)度的直觀）,，而實(shí)數(shù)軸上從0點(diǎn)到1點(diǎn)的線(xiàn)段的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是1，更一般地,，從a點(diǎn)到b點(diǎn)的線(xiàn)段的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是b-a,，——可是這一切我們統(tǒng)統(tǒng)還不知道呢！

這一切確實(shí)還未曾得到說(shuō)明,，而且更關(guān)鍵的是,，僅僅有前面給出的那兩條假設(shè),，我們也確實(shí)無(wú)法推理得出上面那些結(jié)論。這也是數(shù)學(xué)家們的通常做法：先有一個(gè)一般的概念,，然后通過(guò)給它添上一些新的獨(dú)立約束來(lái)構(gòu)造出更細(xì)致的概念,。

我們現(xiàn)在已經(jīng)有了一個(gè)一般的測(cè)度的概念，把它總結(jié)一下,，就是說(shuō)：

對(duì)于直線(xiàn)的一大類(lèi)子集（也就是可測(cè)集,，謝天謝地，我們?cè)趹?yīng)用中真正關(guān)心的集合都屬于可測(cè)集）,，我們能夠在不傷害邏輯的自洽性的前提下,，給他們中的每個(gè)都標(biāo)上一個(gè)數(shù)字，稱(chēng)為測(cè)度,，并且這些數(shù)字滿(mǎn)足下面兩條性質(zhì)：

空集對(duì)應(yīng)的數(shù)字（空集的測(cè)度）是零,。
若干個(gè)（但是至多可數(shù)無(wú)窮個(gè)）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測(cè)度,，剛好等于這些子集各自測(cè)度之和,。" N( p' t( H0 q, ]4 I- h

我們只知道這樣的測(cè)度是存在的，但是很顯然并不唯一,，因?yàn)槲覀兾丛鴮?duì)這些具體的數(shù)值作過(guò)任何限定,。為了使測(cè)度能夠符合我們心目中的那個(gè)“長(zhǎng)度”的概念，我們需要進(jìn)一步添上一條需要滿(mǎn)足的性質(zhì)：

如果把直線(xiàn)看作實(shí)數(shù)軸,，那么從數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的線(xiàn)段（這是直線(xiàn)的一個(gè)子集）對(duì)應(yīng)的測(cè)度應(yīng)當(dāng)?shù)扔赽-a,，例如，數(shù)軸上從2到3的這一段線(xiàn)段的測(cè)度應(yīng)該等于1,。
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乍一看這好像只是個(gè)不完全的限定,，我們只規(guī)定了最簡(jiǎn)單的線(xiàn)段的測(cè)度，卻沒(méi)有規(guī)定剩下那許多奇奇怪怪的集合的測(cè)度,，可是好在有數(shù)學(xué)推理來(lái)替我們包辦剩下的一切：只要添上這條約束,，那么所有的可測(cè)集的測(cè)度的具體大小就會(huì)以唯一不導(dǎo)致邏輯上的矛盾的方式被確定下來(lái)。也就是說(shuō),，對(duì)于任何一個(gè)可測(cè)集,，我們都有辦法算出它所對(duì)應(yīng)的那個(gè)唯一可能的測(cè)度來(lái)。（怎么算的,？如果你不想看到數(shù)學(xué)式子的話(huà)就別問(wèn)了……）

需要說(shuō)明的是,，同樣也是根據(jù)這三條，我們就能夠發(fā)現(xiàn)單點(diǎn)的測(cè)度必須是零（否則就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算上的矛盾）,。注意：這里的邏輯完全是數(shù)學(xué)的而不是哲學(xué)的,，也就是說(shuō)，我們是可以“推導(dǎo)”出單點(diǎn)的測(cè)度是零這樣的結(jié)論的,。

各位看到這里可能會(huì)很疑惑,，我究竟在干什么,？我并沒(méi)有回答事先許諾要回答的任何一個(gè)問(wèn)題（為什么點(diǎn)的長(zhǎng)度是零而線(xiàn)段就不是，諸如此類(lèi)）,，而是蠻橫無(wú)理的把它們作為規(guī)定和規(guī)定的推論強(qiáng)制性的擺在這里,，作為測(cè)度的定義的一部分。這算什么回答,？

請(qǐng)?jiān)试S我把對(duì)此的解釋?zhuān)ㄒ约皩?duì)前面所有那些哲學(xué)性問(wèn)題的解釋?zhuān)┓旁诤竺妫葧呵一氐綔y(cè)度的定義本身上來(lái),。

前面說(shuō)了,，只要能滿(mǎn)足頭兩條性質(zhì)，我們就稱(chēng)定義出來(lái)的那個(gè)東西為測(cè)度,，加上第三條只是為了讓這個(gè)測(cè)度符合我們對(duì)長(zhǎng)度的具體數(shù)值的要求,。也就是說(shuō)，加上第三條性質(zhì)后,，我們定義出的應(yīng)當(dāng)只是測(cè)度中的具體某一種,，一般把它稱(chēng)為勒貝格測(cè)度（Lebesgue measure）。再?gòu)?qiáng)調(diào)一遍,，正如前面所說(shuō)的那樣,，勒貝格測(cè)度并不能定義在直線(xiàn)的所有子集上而只能定義在其中的可測(cè)集上。但是我們?cè)跀?shù)學(xué)中和應(yīng)用中能夠遇到的集合差不多全是可測(cè)集,。

（那就總還有幾個(gè)不可測(cè)集了,？是的，確實(shí)存在一些特別詭異的集合是不可測(cè)集,。關(guān)于不可測(cè)集的構(gòu)造和性質(zhì)一直是數(shù)學(xué)上一個(gè)有趣的話(huà)題,，——雖然并不重要，因?yàn)槭聦?shí)上在真實(shí)世界里我們遇不到它,，它們只是作為抽象的數(shù)學(xué)構(gòu)造出現(xiàn)的,。我們后面還會(huì)再次談及這個(gè)問(wèn)題。）

既然勒貝格測(cè)度只是測(cè)度的一種,，那就是說(shuō),，數(shù)學(xué)上是承認(rèn)不同于勒貝格測(cè)度的更一般的測(cè)度存在的。這些測(cè)度只滿(mǎn)足三條性質(zhì)的前兩條,，而未必滿(mǎn)足第三條,，也就是說(shuō)，這些“測(cè)度”并不保證從0點(diǎn)到1點(diǎn)的線(xiàn)段的測(cè)度是1,，甚至也未必保證單點(diǎn)集的測(cè)度是零,。它們的性質(zhì)可能和通常人們對(duì)長(zhǎng)度的理解很不相同。

（為什么呢,？既然明顯和常識(shí)相悖,，為什么還要保留這些人造的概念呢,？）

這是因?yàn)椋M管數(shù)學(xué)家發(fā)明測(cè)度的概念的初衷確實(shí)只是想把“長(zhǎng)度”的概念精確化和邏輯化,，（事實(shí)上也確實(shí)做到了,，就是勒貝格測(cè)度），但是人們很快發(fā)現(xiàn),，那些更一般的測(cè)度雖然未必還符合人們對(duì)“長(zhǎng)度”這個(gè)詞的理解,，但是它們作為一種數(shù)學(xué)概念卻能在大量的學(xué)科里得到應(yīng)用，甚至成為很多理論的基礎(chǔ)語(yǔ)言,。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子是概率論,，這門(mén)古老的學(xué)科在測(cè)度論建立之后就完全被測(cè)度的語(yǔ)言所改寫(xiě)，以至于今天一個(gè)不懂一般測(cè)度的人完全沒(méi)辦法研究概率論,；另一個(gè)例子是著名的狄拉克測(cè)度（Dirac measure）,，這個(gè)曾經(jīng)令數(shù)學(xué)家也有點(diǎn)頭痛的非正常測(cè)度在物理學(xué)和信號(hào)處理等領(lǐng)域里扮演了非常關(guān)鍵的角色。

——不過(guò),，這是后話(huà)了,。

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-8 11:40
（三）長(zhǎng)度的意義

回到我們的主題：“長(zhǎng)度”的意義上來(lái)。

先總結(jié)一下我們已經(jīng)知道了的事情：

所謂（一維）測(cè)度,，就是要給直線(xiàn)上的每個(gè)子集標(biāo)上一個(gè)數(shù)字,，使得它們滿(mǎn)足下面兩條性質(zhì)：

空集對(duì)應(yīng)的數(shù)字（空集的測(cè)度）是零。
若干個(gè)（但是至多可數(shù)無(wú)窮個(gè)）彼此不相交的子集,，它們并在一起得到的子集的測(cè)度,，剛好等于這些子集各自測(cè)度之和。
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這樣的測(cè)度存在很多種,，而且?guī)缀跞夹袨楣殴�,。為了更好的符合“長(zhǎng)度”的概念，我們添上第三條要求：

如果把直線(xiàn)看作實(shí)數(shù)軸,，那么從數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的線(xiàn)段（這是直線(xiàn)的一個(gè)子集）對(duì)應(yīng)的測(cè)度應(yīng)當(dāng)?shù)扔赽-a,。# y# } r$ P$ C. \

滿(mǎn)足這三條性質(zhì)的對(duì)直線(xiàn)上的每個(gè)子集定義的測(cè)度是不存在的。但是,，如果放松要求,，不對(duì)直線(xiàn)的每個(gè)子集定義而只對(duì)直線(xiàn)的可測(cè)子集定義測(cè)度，那么這樣的測(cè)度存在并且唯一,，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為勒貝格測(cè)度,。靠一系列定理的幫助,，對(duì)直線(xiàn)的任何一個(gè)可測(cè)集（一般來(lái)說(shuō)你能想象到的任何子集都是可測(cè)集）,，都有一套嚴(yán)密定義的公式能夠把這個(gè)測(cè)度的具體大小算出來(lái)。

于是,，數(shù)學(xué)家鄭重宣布：

勒貝格測(cè)度就是人們通常所說(shuō)的“長(zhǎng)度”的嚴(yán)密定義,，而且是唯一正確的定義,。

“什么？”我們的哲學(xué)家朋友們一定要跳起來(lái)了,�,！澳闵厦胬@來(lái)繞去的說(shuō)了一大堆讓人聽(tīng)不懂的話(huà)也就罷了，你怎么能說(shuō)這是關(guān)于長(zhǎng)度唯一正確的定義呢,？這頂多是你們數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)詞的理解而已,，我最討厭你們學(xué)理科的用這種自以為掌握絕對(duì)真理的口氣說(shuō)話(huà)了！”

“是么,？”數(shù)學(xué)家回答道,，“難道長(zhǎng)度這個(gè)詞還可能有別的理解不成？”

“當(dāng)然可以,。”哲學(xué)家憤憤不平地說(shuō),�,！皝喞锸慷嗟抡f(shuō)過(guò)……，萊布尼茨說(shuō)過(guò)……,，康德說(shuō)過(guò)……,，江澤民同志說(shuō)過(guò)……，總之,，人類(lèi)對(duì)長(zhǎng)度這個(gè)詞的理解是經(jīng)歷過(guò)漫長(zhǎng)的爭(zhēng)論的,，而且必然還會(huì)一直爭(zhēng)論下去。每個(gè)人都有權(quán)提出自己的觀點(diǎn)啊,�,！�

“我不管他們?cè)趺凑f(shuō)，”數(shù)學(xué)家說(shuō),，“我只問(wèn)你心里有沒(méi)有對(duì)長(zhǎng)度的定義,？”

“當(dāng)然有了�,！闭軐W(xué)家驕傲地說(shuō),，“我認(rèn)為，長(zhǎng)度就是……”

“慢著,，”數(shù)學(xué)家迫不及待的打斷他,，“我不想聽(tīng)你的哲學(xué)論文，我只問(wèn)你,，在你對(duì)長(zhǎng)度的定義里,，空集有沒(méi)有長(zhǎng)度？有的話(huà),，是不是零,？”

“是……的,。”其實(shí)哲學(xué)家暫時(shí)沒(méi)想到空集這么細(xì)節(jié)的事情,，但是他覺(jué)得反正這個(gè)無(wú)關(guān)緊要吧,，所以先首肯了。

“那么,，按照你定義的長(zhǎng)度,，數(shù)軸上從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，是不是等于6.98-2.76=4.22,？”

“這個(gè)廢話(huà),，不然還叫什么長(zhǎng)度啊�,！闭軐W(xué)家有點(diǎn)不耐煩了,。

“還有，如果我把可數(shù)無(wú)窮個(gè)有長(zhǎng)度的集合放在一起,，總長(zhǎng)度等不等于各自的長(zhǎng)度之和,？”

“這個(gè)……”哲學(xué)家對(duì)于“可數(shù)無(wú)窮”這個(gè)詞有點(diǎn)拿不準(zhǔn)，“反正兩個(gè)線(xiàn)段的總長(zhǎng)度是等于它們各自的長(zhǎng)度之和的,，至于無(wú)窮個(gè)……好吧就算是吧,，那又怎樣？”

“那就結(jié)了,�,！睌�(shù)學(xué)家慢條斯理地說(shuō)�,！拔腋静魂P(guān)心你關(guān)于長(zhǎng)度的哲學(xué)觀念是怎么建立起來(lái)的,，我只想說(shuō)，如果你的觀念沒(méi)有內(nèi)在的邏輯矛盾,，那它就一定和我們數(shù)學(xué)家所說(shuō)的勒貝格測(cè)度是一回事,。這就是我為什么說(shuō)勒貝格測(cè)度是唯一正確的長(zhǎng)度的定義�,！惝�(dāng)然可以有你自己的定義,，只不過(guò)它一定正好就是勒貝格測(cè)度！”

“什么和什么呀,！”哲學(xué)家有點(diǎn)懵了,。“可是你什么也沒(méi)有定義啊,，你只是自己號(hào)稱(chēng)證明了一個(gè)所謂勒貝格測(cè)度的存在,，可是我們關(guān)心的是為什么！我們哲學(xué)家要問(wèn)的是為什么從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于4.22，你卻把它寫(xiě)在了定義里,，這并沒(méi)有回答問(wèn)題本身啊,。”

“唉,，”輪到數(shù)學(xué)家不耐煩了,。“從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段的‘長(zhǎng)度’當(dāng)然也可以不等于4.22,，只要你不取勒貝格測(cè)度而換一種測(cè)度就成了,，——問(wèn)題是人們不喜歡那樣啊。不是為什么它的長(zhǎng)度等于4.22,，而是你首先要求了4.22這一屬性,，然后把它叫做長(zhǎng)度。為什么只有在春天桃花才會(huì)開(kāi),？因?yàn)槭悄惆烟一〞?huì)開(kāi)的那個(gè)季節(jié)叫做春天的,！”

哲學(xué)家：“……”

數(shù)學(xué)家：“……”

嗯，我不知道這段對(duì)話(huà)是把問(wèn)題講清楚了還是攪得更混亂了,。當(dāng)然這里面還有許許多多的細(xì)節(jié)需要闡明,，下面讓我們來(lái)更仔細(xì)的討論一下吧。

“長(zhǎng)度是什么,？為什么從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于4.22,？”正如前面那個(gè)數(shù)學(xué)家所說(shuō)的,，這個(gè)問(wèn)法本身就是不合適的,。我們給從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段賦予一種屬性是4.22，給從姚明的頭到姚明的腳的線(xiàn)段賦予一種屬性是2.26米,，現(xiàn)在我們把這種屬性叫做長(zhǎng)度,，如此而已�,！@完全是人為的設(shè)定,，沒(méi)有任何先驗(yàn)的意義。數(shù)學(xué)家已經(jīng)說(shuō)了,，你當(dāng)然也可以給從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段賦予另一種屬性是3.86,，給從姚明的頭到姚明的腳的線(xiàn)段賦予另一種屬性是0.03米，只要你足夠細(xì)心,，這種做法是不會(huì)引起問(wèn)題的,，只不過(guò)你自己定義的那種屬性不再被人們稱(chēng)作“長(zhǎng)度”罷了。你可以把它稱(chēng)為“短度”或者別的什么,，沒(méi)有問(wèn)題,。

有趣的是，——測(cè)度論的偉大也就體現(xiàn)在這里，——只要我們承認(rèn)了諸如從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于4.22這樣一些樸素的論斷,，那么僅僅靠著邏輯推演,，我們就能夠給直線(xiàn)的幾乎所有子集——可測(cè)集——計(jì)算出對(duì)應(yīng)的“長(zhǎng)度”來(lái)，哪怕它們已經(jīng)變得不是那么直觀,。譬如說(shuō),，單點(diǎn)集的“長(zhǎng)度”是0（不是什么無(wú)窮小，就是0）,，2到5之間的全體無(wú)理數(shù)的集合的“長(zhǎng)度”是3,，某個(gè)廣義康托集（一種有著復(fù)雜分形結(jié)構(gòu)的點(diǎn)集）的“長(zhǎng)度”是2.86……這一切本來(lái)似乎都可以問(wèn)一問(wèn)為什么的事情，其實(shí)都只是邏輯的自然推論罷了,，你要是不承認(rèn)它們,，就必然導(dǎo)致邏輯上的不自洽。

——為什么這個(gè)東西的長(zhǎng)度是0,？那個(gè)東西的長(zhǎng)度是2.3,？為什么這個(gè)奇奇怪怪的集合也會(huì)有長(zhǎng)度？為什么它的長(zhǎng)度不等于別的,，偏偏等于根號(hào)2,？

因?yàn)殚L(zhǎng)度滿(mǎn)足那三條性質(zhì)，所以必然如此,。

——為什么長(zhǎng)度要滿(mǎn)足那三條性質(zhì),？

因?yàn)槿藗儼褲M(mǎn)足那三條性質(zhì)的屬性就叫做長(zhǎng)度。你當(dāng)然也可以用別的幾條性質(zhì)定義出來(lái)一個(gè)什么度,，只是不能再叫長(zhǎng)度就是了,。

這就是“長(zhǎng)度”這個(gè)詞的全部意義。

“可是,，”我們的哲學(xué)家還是不甚滿(mǎn)意,，“我還是覺(jué)得你沒(méi)有真正回答我想問(wèn)的問(wèn)題�,！�

“還有什么呢,？”數(shù)學(xué)家說(shuō)，“我上面這些理論不都已經(jīng)自圓其說(shuō)了么,？”

“就是這個(gè)自圓其說(shuō)讓我特別惱火,。”哲學(xué)家說(shuō),�,！拔铱傆X(jué)得你繞過(guò)了我真正的問(wèn)題。我問(wèn)為什么長(zhǎng)度要這么定義,，你說(shuō)因?yàn)槿藗儼堰@樣定義出來(lái)的屬性就叫長(zhǎng)度,，這當(dāng)然沒(méi)錯(cuò),，可是我其實(shí)想問(wèn)的是，為什么會(huì)有這樣一種屬性存在,？為什么自然界中的事物可以具有長(zhǎng)度——或者用你的話(huà)說(shuō)——這種屬性,？你當(dāng)然可以告訴我說(shuō)，因?yàn)閿?shù)學(xué)上證明了你的那什么勒貝格測(cè)度一定存在,，可是我不想聽(tīng)你那個(gè)證明,，我想聽(tīng)到的是一個(gè)更深入的解釋?zhuān)瑸槭裁撮L(zhǎng)度是得以存在的？”

“因?yàn)椤驗(yàn)槲覀兡茏C明它實(shí)際上存在……”數(shù)學(xué)家迷惑不解的說(shuō),。

“我不是問(wèn)你它存不存在,，我是問(wèn)它為什么存在！”哲學(xué)家怒氣沖沖的說(shuō),�,！澳悴挥X(jué)得這是件不太自然的事情么？反正是一堆點(diǎn),，你又說(shuō)了點(diǎn)的長(zhǎng)度是零,，可是一旦把點(diǎn)排列起來(lái)得到的線(xiàn)段就有了測(cè)度，在這個(gè)過(guò)程中發(fā)生了什么呢,？這個(gè)不為零的長(zhǎng)度是怎么出現(xiàn)的呢,？——?jiǎng)e又對(duì)我說(shuō)你能證明它不為零，我要問(wèn)的是為什么,，——比證明更本質(zhì)一步的那個(gè)為什么,！”

“啊，”數(shù)學(xué)家字斟句酌地說(shuō),，“你想問(wèn)的其實(shí)是為什么線(xiàn)段的測(cè)度不等于簡(jiǎn)單地把點(diǎn)的測(cè)度加在一起對(duì)吧,。是啊，這確實(shí)是個(gè)有趣的問(wèn)題……”

這確實(shí)是個(gè)有趣的問(wèn)題,。

如果我們仔細(xì)檢查關(guān)于勒貝格測(cè)度的那三條公理,，會(huì)發(fā)現(xiàn)關(guān)于第一條和第三條并沒(méi)有什么可多說(shuō)的,，可是第二條——至多可數(shù)個(gè)彼此不相交的子集的并集的測(cè)度等于這些子集各自測(cè)度之和——卻多少讓人心生疑惑。這句話(huà)讀起來(lái)總是有點(diǎn)別扭。

如果我們把它換成“有限個(gè)彼此不相交的子集的并集的測(cè)度,，等于這些子集各自測(cè)度之和”,，聽(tīng)起來(lái)就會(huì)舒服多了，可是這里做了某種推廣,，從有限到無(wú)限,，而且還不是任意無(wú)限個(gè)而是“至多可數(shù)無(wú)窮”個(gè)，這是為什么呢,？

首先,，這種推廣是必須的：只對(duì)有限個(gè)的子集定義測(cè)度的可加性，這樣得出來(lái)的測(cè)度會(huì)不滿(mǎn)足人們的需要，——不僅僅是給長(zhǎng)度一個(gè)精確定義的需要,。測(cè)度論不只是為哲學(xué)家發(fā)明的,，它要在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域里以及別的自然科學(xué)領(lǐng)域里得到應(yīng)用，而在這些場(chǎng)合里,，我們時(shí)刻會(huì)碰到對(duì)無(wú)窮個(gè)集合的并集的測(cè)度的計(jì)算,。我們必須在定義里就保證測(cè)度能夠無(wú)窮相加。

可是另一方面,，為什么又偏偏要限制可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合才有可加性呢,？

事實(shí)上，我們很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn),，正是這一點(diǎn)促成了前面那個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)：為什么線(xiàn)段具有長(zhǎng)度,？如果我們假設(shè)任意無(wú)窮個(gè)彼此不相交的子集的并集的測(cè)度等于這些子集各自測(cè)度之和，那么,，既然線(xiàn)段是由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的而點(diǎn)又沒(méi)有長(zhǎng)度,，那線(xiàn)段也應(yīng)該沒(méi)有長(zhǎng)度才對(duì)。難道這一條是專(zhuān)門(mén)為了避免這個(gè)悖論才設(shè)置的么,？

不是,。我們很快就能看到，這種對(duì)于可數(shù)性的限制,，有著更為本質(zhì)的原因存在,。

首先，讓我們想想看把很多數(shù)相加是什么意思,。我們一開(kāi)始學(xué)到的加法是針對(duì)兩個(gè)數(shù)而言的,，給定任意兩個(gè)數(shù)，我們能夠算出它們的和,。進(jìn)而,，我們把這一過(guò)程推廣到了三個(gè)數(shù)求和：先對(duì)其中兩者求和，然后再把這個(gè)和同第三者相加,。依此類(lèi)推,，我們可以把四個(gè)數(shù)相加，把五個(gè)數(shù)相加……

請(qǐng)注意,，這里的過(guò)程完全是遞歸的（inductively）：只有定義了n個(gè)數(shù)的和,，我們才能夠繼而定義n+1個(gè)數(shù)的和。然后,，這樣一直進(jìn)行下去,，我們就能夠?qū)θ我庥邢薅鄠€(gè)數(shù)求和�,！皇恰叭我庥邢蕖�,，還不是“無(wú)限”,。

從有限到無(wú)限這一步跨越其實(shí)走得頗為艱難。哲學(xué)家也好別的領(lǐng)域的科學(xué)家也好常常隨心所欲的使用數(shù)學(xué)詞匯而并不特別在意自己是否真的明了它們的嚴(yán)格意義,，可是數(shù)學(xué)家卻不能如此自由,。真正把無(wú)窮個(gè)數(shù)加起來(lái)，也就是數(shù)學(xué)中所謂的“級(jí)數(shù)”（series）,，這套理論的嚴(yán)密化在數(shù)學(xué)史上經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間,。最終，借助于極限理論的幫助,，真正嚴(yán)格的關(guān)于級(jí)數(shù)求和的理論才得以建立,。——也就是說(shuō),，事實(shí)上,，什么樣的無(wú)窮級(jí)數(shù)可以相加，什么時(shí)候不能相加,，相加的時(shí)候要注意什么問(wèn)題,，這一切都受到了理論的約束。在這些理論的基礎(chǔ)上,，我們才能夠確定當(dāng)我們隨口說(shuō)出“把這無(wú)窮個(gè)數(shù)加在一起”的時(shí)候,，我們確實(shí)知道我們?cè)谡f(shuō)什么。

什么是級(jí)數(shù)呢,？級(jí)數(shù)就是把有限個(gè)自然數(shù)相加的自然推廣：既然定義了n個(gè)數(shù)的和我們就能夠進(jìn)而定義n+1個(gè)數(shù)的和,，那么，把這個(gè)過(guò)程遞歸地進(jìn)行下去,，我們就能夠?qū)θ我庥邢薅鄠€(gè)數(shù)求和,。當(dāng)有無(wú)窮個(gè)數(shù)需要我們求和的時(shí)候，我們就只對(duì)它們中的前N個(gè)求和,，并且讓這個(gè)N不斷變大,，如果這一過(guò)程有極限，這個(gè)極限就被我們稱(chēng)為這個(gè)無(wú)窮數(shù)的和,。

請(qǐng)注意上面這段話(huà)背后的涵義：當(dāng)我們說(shuō)“對(duì)無(wú)窮個(gè)數(shù)求和”的時(shí)候,，我們其實(shí)潛在地要求了這些數(shù)的總個(gè)數(shù)必須能夠通過(guò)n->n+1->n+2……這樣的過(guò)程來(lái)逼近，然后通過(guò)極限的方式定義它們的和,。這也就是說(shuō),，這些數(shù)的總個(gè)數(shù)必須是可數(shù)個(gè),！

讓我們回憶一下什么是“可數(shù)個(gè)”：“可數(shù)個(gè)”就是能夠和自然數(shù)集建立起一一對(duì)應(yīng)的那么多個(gè),，用更直觀的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，“可數(shù)個(gè)”就是“可以一個(gè)一個(gè)數(shù)下去”的那么多個(gè),。只有一個(gè)集合里包含可數(shù)個(gè)元素的時(shí)候,，我們才能夠?qū)τ谒鼞?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,，因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是“一個(gè)一個(gè)數(shù)下去”：當(dāng)一件事對(duì)n成立時(shí)，我們進(jìn)而要求它對(duì)n+1成立,，這樣的過(guò)程進(jìn)行下去的極限,，就是可數(shù)無(wú)窮。

那么,，既然多個(gè)數(shù)的加法本質(zhì)上是個(gè)遞歸過(guò)程,，——只有先把n個(gè)數(shù)加起來(lái)，我們才能進(jìn)而加上第n+1個(gè)數(shù),，——所以加法至多能對(duì)“可數(shù)無(wú)窮”個(gè)數(shù)來(lái)定義（也就是級(jí)數(shù)加法）,。把“不可數(shù)無(wú)窮個(gè)”數(shù)加在一起，這件事情是毫無(wú)意義的,！

這正是前面所有那些所謂哲學(xué)悖論的根源：當(dāng)人們想當(dāng)然的說(shuō)著“把無(wú)窮個(gè)點(diǎn)的測(cè)度加在一起”的時(shí)候,，他們以為他們是在說(shuō)一件自然而然的事情，可是事實(shí)上,，除非這無(wú)窮個(gè)點(diǎn)是可數(shù)個(gè),，否則這里的加法根本無(wú)法進(jìn)行。不幸的是,，任何線(xiàn)段都偏偏是由不可數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的（它們是連續(xù)統(tǒng)）,。

為什么線(xiàn)段是由點(diǎn)構(gòu)成的，而線(xiàn)段的測(cè)度卻不等于組成它的那些點(diǎn)的測(cè)度之和,？因?yàn)椤敖M成它的那些點(diǎn)的測(cè)度之和”這個(gè)短語(yǔ)根本沒(méi)有意義,，所以?xún)烧咭膊槐叵嗟取?/font>

這個(gè)回答也許有些出人意料，可是事情就是如此,。很多問(wèn)題之所以令人迷惑,，不是因?yàn)樗鼈冋娴氖鞘裁淬Ｕ摚皇且驗(yàn)閱?wèn)題本身沒(méi)有被恰當(dāng)?shù)臄⑹�,。人們常常自以為是的使用很多詞匯卻罔顧自己是不是了解它們的真實(shí)含義,，譬如說(shuō)“求和”。人們隨心所欲地說(shuō)“把若干個(gè)數(shù)加在一起”卻忘了其實(shí)不可能真的把它們“一下子”加在一起,，加法是個(gè)遞歸過(guò)程,，這就決定了如果要加的東西的個(gè)數(shù)太多（不可數(shù)那么多），它們就加不起來(lái)了,。

（不得不補(bǔ)充一點(diǎn)——一個(gè)很掃興的補(bǔ)充——在數(shù)學(xué)中,，某些場(chǎng)合下我們真的必須要對(duì)不可數(shù)個(gè)數(shù)定義總和……數(shù)學(xué)家總是這樣，為了各種極端情況而拓展自己的定義,。在這些情況下,，這種不可數(shù)個(gè)數(shù)的和也是能定義出來(lái)的。但是,，這件事并不會(huì)對(duì)上面那些論述造成削弱：這里的特殊意義上的“和”是為了應(yīng)付特別的目的而定義的,，它和我們平時(shí)所說(shuō)的求和已經(jīng)不是一個(gè)意思了,。）

也許哲學(xué)家還會(huì)追問(wèn)：既然線(xiàn)段的測(cè)度不是組成它的那些點(diǎn)的測(cè)度之和，那么這個(gè)測(cè)度是從哪里來(lái)的呢,？

它們不是哪里來(lái)的……它們是線(xiàn)段自己所固有的,。這就是為什么我們?cè)诙x長(zhǎng)度的時(shí)候非要加上第三條公理的原因：我們必須在定義里就寫(xiě)明線(xiàn)段的測(cè)度，否則就沒(méi)有辦法建立起直線(xiàn)的所有可測(cè)子集的測(cè)度的架構(gòu),。事實(shí)上,，既然點(diǎn)的長(zhǎng)度是零，根據(jù)可數(shù)可加性我們很容易推出一切可數(shù)集的長(zhǎng)度也都是零,，所以在某種意義上說(shuō)來(lái),，“長(zhǎng)度” 是本質(zhì)上只屬于連續(xù)統(tǒng)的一種性質(zhì)。換句話(huà)說(shuō),，只有進(jìn)入了連續(xù)統(tǒng)的范疇,，不為零的長(zhǎng)度才可能出現(xiàn)。這就是為什么我們不能從單點(diǎn)集出發(fā)定義長(zhǎng)度的原因,。

那么,，我們現(xiàn)在可以回答那個(gè)著名的“飛矢不動(dòng)”的芝諾悖論了：一支飛馳的箭，在每一個(gè)確定的時(shí)刻都靜止在一個(gè)確定的位置上,，為什么經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后會(huì)移動(dòng)一段距離,？

答案是：因?yàn)槿魏我欢螘r(shí)間（不管多么短暫）都是一個(gè)連續(xù)統(tǒng)，包含了不可數(shù)個(gè)時(shí)刻,，所以箭在每一時(shí)刻的靜止根本不需要對(duì)一整段時(shí)間之內(nèi)的移動(dòng)負(fù)責(zé),。——后者并不是前者的相加,，而前者也根本不可能相加,。

因?yàn)檫B續(xù)統(tǒng)不可數(shù)，所以我們能夠在每時(shí)每刻里都靜止的存在,，同時(shí)又能在一段時(shí)間內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),。這也許是大自然的巧妙安排吧。

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-8 11:41
（四）若干注記

長(zhǎng)度的意義說(shuō)了這么多,，到此差不多就可以告一段落了,。但是關(guān)于在前面的討論中出現(xiàn)的許多數(shù)學(xué)概念和思想，卻還不妨多說(shuō)幾句,。事實(shí)上,，測(cè)度論雖然只是數(shù)學(xué)中一個(gè)具體的分支，但是它的發(fā)展和演進(jìn)卻和數(shù)學(xué)史上最有趣的篇章之一——所謂的“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”——聯(lián)系在一起,。關(guān)于這樁公案,，坊間的科普書(shū)目已經(jīng)汗牛充棟，我也并不想在這里再重復(fù)一遍那些隨手就可以找得到的八卦，而只是想針對(duì)某些特別的概念和理論略加說(shuō)明,，至少,，這對(duì)愿意繼續(xù)閱讀別的數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)科普著作的朋友來(lái)說(shuō),，會(huì)有點(diǎn)作用吧,。

1. 無(wú)窮小。

這個(gè)概念無(wú)疑常常困擾沒(méi)有受過(guò)現(xiàn)代數(shù)學(xué)訓(xùn)練的閱讀者們,，這是很自然的事情,，因?yàn)樗梢詮闹庇X(jué)上意識(shí)得到，卻又難于精確地把握：無(wú)窮小是什么,？是不是可以精確定義的數(shù)學(xué)概念,？它是一個(gè)數(shù)？還是一段長(zhǎng)度,？能不能對(duì)無(wú)窮小做計(jì)算,？諸如此類(lèi)等等。由于這個(gè)概念幾乎天然的和各種哲學(xué)式的思辨聯(lián)系在一起,，使得甚至哲學(xué)家們也對(duì)它頗為關(guān)注,，——當(dāng)然，還有數(shù)之不盡的民科們,。

關(guān)于無(wú)窮小的討論者,，最著名的大概莫過(guò)于萊布尼茨，他花了大把的精力試圖精確闡述無(wú)窮小的概念并且以此作為整個(gè)微積分學(xué)的基石,。在萊布尼茨看來(lái),，無(wú)窮小是一個(gè)比任何數(shù)都小但是不等于零的量，對(duì)它可以做四則運(yùn)算,，尤為關(guān)鍵的是可以做除法：兩個(gè)相關(guān)的無(wú)窮小量的比值就是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),。以此為基本語(yǔ)言他開(kāi)始建立微積分學(xué)的基本理論，——他基本上成功了,。直至今天,，數(shù)學(xué)家采用的關(guān)于微分的記號(hào)仍然來(lái)自萊布尼茨，而數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部關(guān)于微積分學(xué)的專(zhuān)門(mén)稱(chēng)呼——“ 分析學(xué)”——也來(lái)自于萊布尼茨自己對(duì)他的理論的叫法：無(wú)窮小分析,。盡管牛頓和萊布尼茨在微積分的發(fā)明權(quán)上爭(zhēng)得不可開(kāi)交,，可是幾個(gè)世紀(jì)過(guò)去，至少在這兩件事情上萊布尼茨大獲全勝,。

可是,，也許你想不到的一件吊詭的事情是：盡管萊布尼茨在微積分學(xué)的建立過(guò)程里做出如此重要的貢獻(xiàn)，他的思想的基石——無(wú)窮小量——卻是一個(gè)在今天的數(shù)學(xué)語(yǔ)言里被完全拋棄了的概念,。人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)詞匯除了帶來(lái)混亂之外并沒(méi)有什么特別的用處,，于是作為一種語(yǔ)言，它被丟棄了,。

事實(shí)上,，即使在萊布尼茨的同時(shí)期人看來(lái),，無(wú)窮小也是一個(gè)有點(diǎn)讓人不舒服的詞：比任何大于零的數(shù)都小，卻不是零,。我們當(dāng)然可以把它僅僅作為一種人為的邏輯概念來(lái)使用,，可是這樣一個(gè)怪東西的存在，既使得數(shù)學(xué)的基本對(duì)象——實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)變得混亂,，也在很多場(chǎng)合帶來(lái)了麻煩的難于回答的問(wèn)題（盡管它也確實(shí)帶來(lái)了不少方便）,。在分析學(xué)蓬勃發(fā)展的十八世紀(jì)，一代又一代數(shù)學(xué)大師為此爭(zhēng)論不休,，大家混亂而各行其是地使用這個(gè)詞,，卻沒(méi)人能說(shuō)清楚它的精確含義。終于,，從十九世紀(jì)初期開(kāi)始,，以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的一大批數(shù)學(xué)家開(kāi)始為分析學(xué)的嚴(yán)密化做出了大量的工作，他們?cè)噲D在完全不采用“無(wú)窮小量”這個(gè)概念的前提下重新建立整個(gè)分析學(xué),，——他們也成功了,。

于是這個(gè)詞就被拋棄了。時(shí)至今日,，這個(gè)詞盡管在很多數(shù)學(xué)書(shū)里仍然會(huì)出現(xiàn),，但是這時(shí)它僅僅作為一個(gè)純粹修辭上的詞匯而不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念，——人們通常用它來(lái)指代“極限為零的變量”（感謝十九世紀(jì)那一大批數(shù)學(xué)家,，極限這個(gè)詞已經(jīng)是有了嚴(yán)密清晰的定義而不再僅僅是某種哲學(xué)性的描述）,，也有的時(shí)候它被用來(lái)作為對(duì)微積分運(yùn)算中的某些符號(hào)的稱(chēng)呼，但是無(wú)論何時(shí),，人們?cè)谑褂盟臅r(shí)候都明確的知道自己想說(shuō)什么,，更關(guān)鍵的是，人們知道自己并不需要它,，而只是偶爾像借助一個(gè)比喻一樣借助它罷了,。

那么，回到這個(gè)詞最本源的意義：到底有沒(méi)有這樣一個(gè)量,，比一切給定的正實(shí)數(shù)都小卻又不是零,？或者這個(gè)問(wèn)題還有一系列等價(jià)的提法：在直線(xiàn)上存不存在兩個(gè)“相鄰”的點(diǎn)？存不存在“長(zhǎng)度”的最小構(gòu)成單位,？等等等等,。

在今天我們已經(jīng)能夠確定無(wú)疑的回答這些問(wèn)題了：不，不存在,。

事實(shí)上,，這個(gè)問(wèn)題的徹底解答甚至比柯西和魏爾斯特拉斯的時(shí)代還要晚：它本質(zhì)上是關(guān)于實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)的理解的問(wèn)題。即使柯西本人——盡管他奠定了現(xiàn)代極限理論的基礎(chǔ)——也并不真正了解“實(shí)數(shù)是什么”這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。關(guān)于嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論的最終建立,，一般認(rèn)為是皮亞諾（peano）,，康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）這幾位十九世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)家的成就。所謂的“戴德金分劃”仍然是今天的教科書(shū)里對(duì)“實(shí)數(shù)”這一概念所介紹的標(biāo)準(zhǔn)模型,。在這套模型里,，人們能夠在邏輯上完全自洽的前提下回答有關(guān)實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)的一切問(wèn)題，而正如前面指出過(guò)的那樣,，它完全擯棄了“無(wú)窮小”的存在,。

（是不是數(shù)學(xué)家說(shuō)無(wú)窮小量不存在,，這個(gè)詞就沒(méi)意義了呢,？）

這又回到了前面我們屢次面對(duì)的那個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)斷言的權(quán)威性的問(wèn)題。如果承認(rèn)無(wú)窮小是一個(gè)有關(guān)數(shù)的概念,，那么,，數(shù)學(xué)家的工作已經(jīng)告訴我們，在實(shí)數(shù)理論中沒(méi)有無(wú)窮小的位置,。事實(shí)上,，康托本人就曾經(jīng)證明過(guò)承認(rèn)無(wú)窮小是同承認(rèn)實(shí)數(shù)中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)性質(zhì)的基本原理,，如果阿基米德原理是錯(cuò)的,，整個(gè)數(shù)學(xué)大概都無(wú)法得以建立。）但是,，如果把問(wèn)題拉到數(shù)學(xué)的疆域以外,，如果認(rèn)為人們有權(quán)利不按照數(shù)學(xué)家的方式討論數(shù)本身的性質(zhì)，那么我們面對(duì)的就已經(jīng)是全然另一層次的問(wèn)題,，——也就不可能在這里得到詳盡的討論了,。

2. 無(wú)窮大。

有趣的是,，和無(wú)窮小如此相似的一個(gè)詞——無(wú)窮大——卻在今天的數(shù)學(xué)語(yǔ)言中占有與之判若云泥的一個(gè)地位：人們談?wù)撍�,，研究它，還給它以專(zhuān)門(mén)的記號(hào)（倒 8字）,。造成這一多少有點(diǎn)奇特的事實(shí)的關(guān)鍵在于,，和通常人們的誤解不同，無(wú)窮大其實(shí)并不是無(wú)窮小這個(gè)詞在概念上的對(duì)偶（盡管乍一看似乎如此）,。事實(shí)上,，就某種意義而言，說(shuō)它是零這個(gè)詞的對(duì)偶也許更為恰當(dāng)一些,。

讓我們回顧一下這個(gè)概念在數(shù)學(xué)中的遞進(jìn)過(guò)程：我們都知道存在這樣的數(shù)列（例如自然數(shù)列）,，可以一直變得越來(lái)越大，直到比任何給定的數(shù)都更大，這種時(shí)候,，我們把這樣的數(shù)列稱(chēng)為“趨于無(wú)窮大”或者直接就簡(jiǎn)稱(chēng)它是無(wú)窮大,。——請(qǐng)注意,，在這里無(wú)窮大僅僅是作為人們對(duì)一個(gè)數(shù)列或者變量的極限的叫法而存在的,，我們并沒(méi)有承認(rèn)它是一個(gè)數(shù)或者一個(gè)確定的對(duì)象，而只是一個(gè)形容詞而已,。每個(gè)具體的數(shù)都不可能真的比別的數(shù)都大,，盡管一系列數(shù)可以沒(méi)有止境地變得越來(lái)越大，這實(shí)質(zhì)上就是亞里士多德所強(qiáng)調(diào)的“潛無(wú)窮”,。

如果事情只是到此為止,，那一切相安無(wú)事，無(wú)窮大這個(gè)詞今天的地位也只不過(guò)和無(wú)窮小一樣僅僅作為對(duì)一種極限的描述而存在罷了,�,？墒沁@里有某種微妙的差別：正如前面提到過(guò)的那樣，“無(wú)窮小”不是別的,，只是一個(gè)變量極限為零而已,，所以我們總可以認(rèn)為無(wú)窮小只是一種說(shuō)法，在必要的時(shí)候可以用“趨于零”這樣一個(gè)替代說(shuō)法來(lái)?yè)Q掉它,�,？墒恰盁o(wú)窮大”是什么極限呢？它并不是趨于任何特定數(shù)字的極限,，而是“趨于無(wú)窮大的極限”,，你看，這個(gè)詞輕易回避不掉,。

于是人們只好被迫不斷的提及它,，要是非要替換成別的說(shuō)法，就要花好多倍唇舌才成,。比如,，前面說(shuō)過(guò)直線(xiàn)本身也是直線(xiàn)的可測(cè)子集，那么整條直線(xiàn)的測(cè)度是多少,？當(dāng)然我們可以佶屈贅牙地說(shuō)“直線(xiàn)可測(cè),，但是它的測(cè)度并不是一個(gè)確定的數(shù)，而只是比任何給定的實(shí)數(shù)都要大,�,！薄@也太麻煩了一點(diǎn)。為什么不省點(diǎn)事直接說(shuō)“直線(xiàn)的測(cè)度等于無(wú)窮大”呢,？

這樣人們就開(kāi)始不斷的把無(wú)窮大當(dāng)一個(gè)名詞來(lái)使用,，假裝它好像也是一個(gè)數(shù)一樣,，這就是所謂的“實(shí)無(wú)窮”。哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家中比較喜歡哲學(xué)爭(zhēng)辯的那一部分人對(duì)此有許多爭(zhēng)論（直覺(jué)主義學(xué)派等等）,，但是讓我們忽略掉它們,，先看看在今天數(shù)學(xué)家是怎么使用這個(gè)詞的吧。

首先,，無(wú)窮大不是一個(gè)實(shí)數(shù),，在實(shí)數(shù)集中不存在任何數(shù)比其他所有數(shù)更大，這是確定無(wú)疑的事情,。

其次,，在許多場(chǎng)合下，我們確實(shí)可以把無(wú)窮大當(dāng)作一個(gè)名詞來(lái)使用,，既方便又不造成困擾,。例如前面提及的在測(cè)度論里我們說(shuō)一個(gè)可測(cè)集的測(cè)度是一個(gè)“數(shù) ”，這里的“數(shù)”既包括非負(fù)實(shí)數(shù)也包括無(wú)窮大,。事實(shí)上,，在有些數(shù)學(xué)書(shū)里索性把實(shí)數(shù)加上無(wú)窮大這樣一個(gè)集合稱(chēng)為“增廣實(shí)數(shù)集”,。我們甚至可以對(duì)無(wú)窮大定義運(yùn)算（在事先做好嚴(yán)格約定的前提下）,，這對(duì)于很多理論的敘述帶來(lái)了極大的方便。如果說(shuō)得更技術(shù)化一點(diǎn),，在很多數(shù)學(xué)分支（例如仿射幾何）里我們還能像讓每個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)這樣一個(gè)幾何對(duì)象一樣,，讓無(wú)窮大這樣一個(gè)特殊的對(duì)象也對(duì)應(yīng)于一個(gè)特殊的幾何對(duì)象（所謂的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”），并且讓所有這些幾何對(duì)象平等地參與到幾何學(xué)中來(lái),。只要仔細(xì)做好事先的公理準(zhǔn)備,，這樣子做并不會(huì)引起任何邏輯問(wèn)題。

——也許有人會(huì)覺(jué)得奇怪,，怎么數(shù)學(xué)家可以如此隨便,，想給實(shí)數(shù)集添上什么就添上什么？事實(shí)上,，數(shù)學(xué)家就是有這樣的權(quán)利,，因?yàn)檎f(shuō)到底，數(shù)學(xué)不是研究真實(shí)自然界的學(xué)問(wèn),，而只是研究人造概念的學(xué)問(wèn),。任何人造概念，只要在邏輯上被嚴(yán)格的描述出來(lái)又不造成內(nèi)在的邏輯不自洽,，都可以被認(rèn)為是“存在”的,。復(fù)數(shù)的引進(jìn)就是一個(gè)很好的例子。

——那前面怎么又說(shuō)“無(wú)窮小不存在”,？就算無(wú)窮小本身不能是一個(gè)實(shí)數(shù),，為什么不能把它添在實(shí)數(shù)集之外也弄一個(gè)“增廣實(shí)數(shù)集”出來(lái)研究,？

事實(shí)上，這樣做是可以的,，而且事實(shí)上也確實(shí)有好事者這樣做過(guò),。問(wèn)題在于它毫無(wú)意義。前面說(shuō)了,，任何人都有權(quán)利自己定義出一些什么東西來(lái)作為數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)研究,，這是對(duì)的，只要他在邏輯上足夠細(xì)心就行,�,？墒沁@句話(huà)還有一個(gè)常常被人忽視的反面：數(shù)學(xué)盡管不是直接研究自然界的學(xué)問(wèn)，可是它畢竟是在人們研究自然界的過(guò)程中形成而又有助于人們對(duì)自然界的理解的,。如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念純粹只是自說(shuō)自話(huà)的產(chǎn)物,，那無(wú)論它多么自洽，也沒(méi)有人會(huì)去關(guān)心它,。復(fù)數(shù)這一人為的構(gòu)造之所以被所有人承認(rèn)是因?yàn)樗薮蟮耐�,。而無(wú)窮小——正如前面所指出的——是一個(gè)毫無(wú)必要引入的概念，添上它只會(huì)自找麻煩,。無(wú)窮小和無(wú)窮大的命運(yùn)之所以不同,，關(guān)鍵正在于此。

回到無(wú)窮大這個(gè)詞上來(lái),。這一系列文章的一開(kāi)頭還說(shuō)過(guò)無(wú)窮大可以分成“可數(shù)”和“不可數(shù)”的無(wú)窮大,，那又是怎么回事？

這是一個(gè)更常見(jiàn)的誤解,，這其實(shí)是兩個(gè)不同的詞：作為一個(gè)極限的（潛）無(wú)窮和由此引申而來(lái)的作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的（實(shí)）無(wú)窮是一碼事,，作為一個(gè)集合的勢(shì)的可數(shù)無(wú)窮或者不可數(shù)無(wú)窮是另一碼事，不同于前者的“無(wú)窮大”,，后者其實(shí)應(yīng)該被稱(chēng)為“無(wú)窮多”才對(duì),，只是人們通常混為一談,。事實(shí)上,，當(dāng)我們說(shuō)“一個(gè)集合有無(wú)窮多個(gè)元素”的時(shí)候，我們有必要指出這個(gè)集合是不是可數(shù),，而當(dāng)我們說(shuō)“一條直線(xiàn)的測(cè)度是無(wú)窮大”的時(shí)候,，卻完全談不上什么可數(shù)不可數(shù)�,！跀�(shù)學(xué)書(shū)中通過(guò)觀察上下文,，分辨這兩者并不是很難的事情，可是如果把“無(wú)窮”作為一個(gè)哲學(xué)命題來(lái)研究的時(shí)候,，這種區(qū)分卻是必須的,�,！恍业氖牵臀议喿x所及,，很多時(shí)候人們都沒(méi)做到這一點(diǎn),。

3. 不可測(cè)集與選擇公理、數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性

回顧一下“不可測(cè)集”這個(gè)詞的意思：在勒貝格測(cè)度的意義下,，總有一些集合是沒(méi)辦法定義測(cè)度的,，這樣的集合稱(chēng)為不可測(cè)集。同時(shí)已經(jīng)被我們反復(fù)指出過(guò)的一點(diǎn)是：一個(gè)沒(méi)受過(guò)專(zhuān)門(mén)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人所能想象到的任何古怪集合其實(shí)都是可測(cè)的,，不可測(cè)集非常罕見(jiàn),。

不可測(cè)集的存在是數(shù)學(xué)中中一件令人遺憾的事實(shí)，要是能給直線(xiàn)的任何一個(gè)子集定義長(zhǎng)度,，這樣的理論該有多么漂亮啊……數(shù)學(xué)中常常有這樣的情形,，一個(gè)人們通過(guò)直覺(jué)認(rèn)定的美妙設(shè)想，偏偏被一兩個(gè)好事者精心構(gòu)造出的反例破壞了,，但是數(shù)學(xué)畢竟受制于邏輯,，不管一個(gè)反例多么煞風(fēng)景，只要它確實(shí)成立,，數(shù)學(xué)家也只好接受它,。

可是不可測(cè)集這個(gè)例子有點(diǎn)不同：構(gòu)造不可測(cè)集，用到了選擇公理,。

這件事情說(shuō)來(lái)話(huà)長(zhǎng),，簡(jiǎn)單的說(shuō)，我們都知道整個(gè)數(shù)學(xué)是建立在一些很顯然也很直觀的公理之上的,，這些公理大多數(shù)都是諸如等量之和為等量之類(lèi)的廢話(huà)，可是選擇公理稍微復(fù)雜一點(diǎn),，它是說(shuō)：

任何給定一組非空集合,，我們總能從其中的每一個(gè)集合里取出一個(gè)元素組成一個(gè)集合。

也像廢話(huà)一樣,，是吧,，可是這句話(huà)多少有點(diǎn)羅嗦，不像等量之和為等量一樣簡(jiǎn)單明了,。于是人們對(duì)它多少有所爭(zhēng)議,，有人認(rèn)為它不應(yīng)當(dāng)排在基本公理之內(nèi)�,？墒钱吘惯@句話(huà)也挑不出什么錯(cuò),，而且人們很快發(fā)現(xiàn)，很多很有用的數(shù)學(xué)結(jié)果離開(kāi)選擇公理就變得很難證明或者根本不可能證明,，于是將就著也就承認(rèn)它了,。

可是不可測(cè)集的存在卻又掀起了人們的疑慮,，反對(duì)選擇公理的人說(shuō)，看看吧,，要是沒(méi)有選擇公理,，也就沒(méi)有不可測(cè)集了。

贊成的人反駁說(shuō),，不可測(cè)就不可測(cè)唄,，有什么大不了的……雖然整個(gè)理論確實(shí)變得不那么完美了�,！麄儾恢栏蟮膯�(wèn)題還在后面,。1924年，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫（Banach）在選擇公理和不可測(cè)集構(gòu)造法的基礎(chǔ)上,，證明了石破天驚的“分球定理”：一個(gè)半徑為1的實(shí)心球,，可以剖分成有限的若干塊，用這些塊可以完整地重新拼出兩個(gè)半徑為1的實(shí)心球體,！

這一下引起軒然大波,，反對(duì)選擇公理的數(shù)學(xué)家們聲勢(shì)大振，認(rèn)為選擇公理完全是trouble maker,，必欲除之而后快,。贊成選擇公理的數(shù)學(xué)家們則指出選擇公理“功大于過(guò)”，畢竟有很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)成果出自選擇公理的基礎(chǔ),。雙方僵持的結(jié)果是大家各行其是,，大多數(shù)數(shù)學(xué)家承認(rèn)選擇公理，同時(shí)忍受巴拿赫分球定理所帶來(lái)的不適感,，少數(shù)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不要選擇公理,，為此失去很多別的很有用的定理也在所不惜。

這一僵持局面維持了很多年,，直到二十世紀(jì)的中葉才被戲劇性地解決,。人們?cè)诓怀姓J(rèn)選擇公理的假設(shè)下構(gòu)造出了一大堆比巴拿赫的球體更嚴(yán)重的反例（例如一個(gè)空間同時(shí)有兩個(gè)維數(shù)）。這些反例不只像巴拿赫的例子一樣違反直覺(jué),，而且還嚴(yán)重的破壞了大多數(shù)已有的數(shù)學(xué)結(jié)果,。于是人們發(fā)現(xiàn)，承認(rèn)選擇公理也許是必須的,，而像巴拿赫的反例那樣的反直覺(jué)的結(jié)果,，也只能被迫承擔(dān)下來(lái)了。

所以到今天幾乎所有的數(shù)學(xué)研究都是在承認(rèn)選擇公理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,。雖然作為一種后遺癥,，人們總是會(huì)時(shí)不時(shí)地謹(jǐn)慎的在使用選擇公理的時(shí)候加上一句聲明：“本文依賴(lài)選擇公理�,！薄@也許是這條公理的一個(gè)特殊待遇了,。

以上便是這段公案的來(lái)龍去脈,。很多人可能在讀完這段故事之后疑慮重重。什么�,�,？數(shù)學(xué)家們難道是這么隨便的確定公理體系的么？如此的實(shí)用主義,，似乎全然置真理的地位于不顧的樣子,。很多人可能還會(huì)想起歐幾里德第五公設(shè)的故事，覺(jué)得數(shù)學(xué)家們?cè)瓉?lái)如此不負(fù)責(zé)任,，帶給人們的不是一套嚴(yán)整規(guī)范的理論體系,，而是一個(gè)支離破碎的混亂圖景。連公理的問(wèn)題都搞不定,，整個(gè)數(shù)學(xué)豈不是空中樓閣,？

限于篇幅，這篇文章不可能對(duì)這個(gè)問(wèn)題予以展開(kāi)論述,，可是至少我們可以澄清一個(gè)常見(jiàn)的似是而非的誤解：數(shù)學(xué)是嚴(yán)密性的科學(xué),，數(shù)學(xué)的發(fā)展也只有在嚴(yán)密的公理化基礎(chǔ)上才能得以實(shí)現(xiàn)。

這句話(huà)——至少在字面上——是對(duì)的,。不可測(cè)集的例子本身就說(shuō)明,，為了嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)家們甚至不惜放棄直觀,，——像巴拿赫球那樣的例子盡管如此怪誕,，可是它是嚴(yán)密邏輯的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)家也只好承認(rèn)它的存在,。

可是在更宏觀的層面上,，這句話(huà)卻是錯(cuò)的。前面提到的分析學(xué)就是很好的例子：微積分的思想的提出是在十七世紀(jì),，在隨后的十八世紀(jì)里取得了豐碩的成果,，可是它的嚴(yán)密化卻直到十九世紀(jì)下半葉才真正得以實(shí)現(xiàn)。測(cè)度論是另一個(gè)例子：“測(cè)度”是人們對(duì)于長(zhǎng)度這個(gè)詞的直觀理解的嚴(yán)密化,，可是這并不是說(shuō)，在測(cè)度論被提出之前的漫長(zhǎng)歲月里人們對(duì)于長(zhǎng)度都一無(wú)所知,，恰恰相反,，人們已經(jīng)知道了相當(dāng)多的事情，只是等待測(cè)度論的語(yǔ)言讓一切都變得精確和完整而已,。

所以數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)質(zhì)上是一個(gè)拖泥帶水的過(guò)程,，一代又一代嶄新、充滿(mǎn)活力卻又粗糙的思想被提出來(lái),，人們意識(shí)到它的重要性,，予以發(fā)揚(yáng)光大,，產(chǎn)生一系列重要的成果同時(shí)又帶來(lái)困惑，直到嶄新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言誕生,，清理戰(zhàn)場(chǎng),，讓一切顯得井井有條，像教科書(shū)上的文字一樣道貌岸然,，而同時(shí)卻又有新的粗糙的思想誕生了…… 在這個(gè)過(guò)程里,，嚴(yán)密性始終只是一個(gè)背景，盡管無(wú)處不在,，可是并不占據(jù)舞臺(tái)的統(tǒng)治地位,。數(shù)學(xué)家們?cè)谝鈬?yán)密性，追逐嚴(yán)密性,，甚至不惜為了嚴(yán)密性而犧牲看似有價(jià)值的學(xué)術(shù)成果,，可是嚴(yán)密性并不是數(shù)學(xué)發(fā)展的引領(lǐng)旗幟，從來(lái)都不是,。

這就是為什么同很多人的誤解相反,，大多數(shù)數(shù)學(xué)家其實(shí)并不關(guān)心那些關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的哲學(xué)性的爭(zhēng)論，這也就是為什么我把眼前這些討論放進(jìn)附記的原因——一件事情是不是關(guān)系到數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)和這件事情在數(shù)學(xué)上是不是重要一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有,。所有這些故事：可數(shù)與不可數(shù),、可測(cè)與不可測(cè)、選擇公理等等,，都是和二十世紀(jì)初所謂“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”的大背景聯(lián)系在一起的,，那段時(shí)間里數(shù)學(xué)家之間產(chǎn)生了無(wú)數(shù)紛爭(zhēng)，可是今天的數(shù)學(xué)學(xué)生們?cè)趪?yán)肅認(rèn)真地學(xué)習(xí)集合論和測(cè)度論的同時(shí),，卻只對(duì)那些八卦付之一笑,，作為茶余飯后的談資�,！聦�(shí)上,，即使在二十世紀(jì)初，也有大量的數(shù)學(xué)家根本不關(guān)注這件事情或者壓根就采取了日后看來(lái)是錯(cuò)誤的立場(chǎng)（反對(duì)康托,，反對(duì)不可數(shù)集的概念,，等等）卻同時(shí)又在自己的領(lǐng)域里作出了重要的甚至是歷史性的貢獻(xiàn)。

關(guān)于那個(gè)所謂的“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”,，有一本著名的科普著作《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》[2]專(zhuān)門(mén)討論了它,。這本書(shū)內(nèi)容相當(dāng)詳盡，不幸的是它所引起的誤解和它闡明的事情一樣多,。關(guān)于這次“危機(jī)”的描述主要集中在第十二章,，那一章的結(jié)尾倒是相當(dāng)深刻，值得特別引用在此：

“一個(gè)寓言恰如其分地概括了本世紀(jì)有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)展?fàn)顩r。在萊茵河畔,，一座美麗的城堡已經(jīng)矗立了許多個(gè)世紀(jì),。在城堡的地下室中生活著一群蜘蛛，突然一陣大風(fēng)吹散了它們辛辛苦苦編織的一張繁復(fù)的蛛網(wǎng),，于是它們慌亂地加以修補(bǔ),，因?yàn)樗鼈冋J(rèn)為，正是蛛網(wǎng)支撐著整個(gè)城堡,�,！�

【轉(zhuǎn)貼完】

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-8 11:45
最后說(shuō)句自己的話(huà)，如果你不是數(shù)學(xué)狂熱份子,，相信我,，別去搞測(cè)度論，他在機(jī)械設(shè)計(jì)中毫無(wú)用處,，并且只會(huì)把你的頭腦搞混

測(cè)度論的前置技能可不少,，微積分 → 集合論 → 數(shù)學(xué)分析 → 測(cè)度論，而且別急,，學(xué)了測(cè)度論不學(xué)實(shí)變函數(shù)論,，你這測(cè)度論是白學(xué)的，所以,，后邊還有,，測(cè)度論 → 實(shí)變函數(shù)論 → 泛函分析

作者: 逛逛論壇 時(shí)間: 2014-7-8 11:47
出大事啦。

作者: 709079691 時(shí)間: 2014-7-8 11:58
要死人了,。

作者: 淺川 時(shí)間: 2014-7-8 12:09
千萬(wàn)不要出什么亂子

作者: icegoods 時(shí)間: 2014-7-8 12:49
看得頭疼,，樓主搬運(yùn)幾座大山，這是要鎮(zhèn)壓是嗎,？O(∩_∩)O哈哈~

作者: kawa-- 時(shí)間: 2014-7-8 13:55
頭痛啊

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-7-8 13:55
看完通篇也是一項(xiàng)龐大的工程,。不過(guò)感覺(jué)整篇描述的“測(cè)度”是一個(gè)如何把連續(xù)和離散統(tǒng)一起來(lái)的方法。
里面的有些敘述很生動(dòng),，但是不太嚴(yán)謹(jǐn),。比如4.22的由來(lái)那段。俺只能理解連續(xù)封閉子集的和,，而如果這些子集不封閉,，那也不該有4.22，即便是在直線(xiàn)上截取的,�,；蛘撸瑩Q句話(huà)說(shuō),，開(kāi)子集不可測(cè)。而線(xiàn)段一定不是開(kāi)子集,。好吧,，又成繞口令了,。
搞數(shù)學(xué)的最后果然都是會(huì)瘋的

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-7-8 14:21
說(shuō)點(diǎn)疑惑。感覺(jué)這種測(cè)度論其實(shí)變相的避開(kāi)了解釋如何從點(diǎn)到線(xiàn)的解釋,。所以,，我能理解哲學(xué)家對(duì)此的不滿(mǎn)。（笑）
比如我前面說(shuō)的子集問(wèn)題,。
一條線(xiàn)段真的能分成若干可相加的子集嗎,？比如，［1,10]的線(xiàn)段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個(gè)線(xiàn)段子集嗎,？那么這兩個(gè)子集是相交的，不是嗎,？因?yàn)槎即嬖?這個(gè)點(diǎn),。而如何寫(xiě)成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是兩條線(xiàn)段,，因?yàn)楹竺孢@個(gè)子集缺少了一個(gè)端點(diǎn),。那么這種情況，貌似這種測(cè)度的定義就變得不那么完善了又,。
所以,，從這方面講，我并不喜歡這種數(shù)學(xué)上的定義,。我可以理解任意一個(gè)高維度空間都可以表現(xiàn)低維度空間的特征,，比如三維中表現(xiàn)一維的線(xiàn)段長(zhǎng)，表現(xiàn)二維的面積,；但你絕對(duì)不可能在一維中表現(xiàn)出體積和面積,。這不僅僅是尺度問(wèn)題。我更傾向于低維度特征是用以表現(xiàn)高維度特征的參考位這種說(shuō)法,。詳細(xì)的說(shuō),，低維度特征無(wú)論在哪都只表現(xiàn)其自身的特征，而高維度的特征只是借助低維度的特征作為一個(gè)參考位進(jìn)而表現(xiàn)高維度的特征,。
因此,，你可以在三維中，以表現(xiàn)面積特征的面作為參考位表現(xiàn)出兩個(gè)面參考位之間的度量特征,，這個(gè)特征就是體,。這跟面有沒(méi)有體積特征沒(méi)有任何關(guān)系，他只是一個(gè)位,，如果表達(dá)成數(shù)學(xué),，就是[a,b]。面特征的參考位相當(dāng)于a,b位點(diǎn)，而體積特征描述的是a,b之間的所有集合加成,，無(wú)論是開(kāi)集合還是閉集合,。它并不在乎你有多少個(gè)重復(fù)位，有多少個(gè)離散點(diǎn),，它只在乎a和b之間的相對(duì)位置,。

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-7-8 14:25
換句話(huà)說(shuō)，比如從點(diǎn)到線(xiàn)段,，線(xiàn)段游低維度的點(diǎn)組成,，但不是說(shuō)線(xiàn)段上該有多少個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段特征表達(dá)只是在描述任意兩個(gè)以點(diǎn)為參考位的相對(duì)特征,。所以,，這之間有多少點(diǎn)，多少重復(fù)都無(wú)所謂,，無(wú)所謂點(diǎn)之間如何排列組合,，無(wú)所謂連續(xù)離散。因?yàn)樘卣鞅硎霾煌?font class="jammer">. A& [! X# U6 o- G5 {) o: r; `% u
當(dāng)然,，這樣的說(shuō)法有點(diǎn)類(lèi)似所謂的尺度論,。

作者: 獨(dú)自莫憑欄 時(shí)間: 2014-7-8 14:43
zero有點(diǎn)上癮了

作者: 阿難和松山 時(shí)間: 2014-7-8 14:52
我了個(gè)去！,！

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-8 15:05

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 14:21 1 s# ~* y2 _- G* N6 E' } n$ d; _
說(shuō)點(diǎn)疑惑,。感覺(jué)這種測(cè)度論其實(shí)變相的避開(kāi)了解釋如何從點(diǎn)到線(xiàn)的解釋。所以,，我能理解哲學(xué)家對(duì)此的不滿(mǎn),。（笑 ...

“比如，［1,10]的線(xiàn)段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個(gè)線(xiàn)段子集嗎,？”

可以，可測(cè)集的線(xiàn)性可加性質(zhì)

“而如何寫(xiě)成[1,5]和(5,10]”

一個(gè)閉集,，一個(gè)開(kāi)集,，找本數(shù)學(xué)分析書(shū)來(lái)看，都有嚴(yán)格定義,，順便說(shuō)句(5,，10]，[5,10]的勒貝格測(cè)度都是5,，去掉單點(diǎn)是不影響一個(gè)連續(xù)統(tǒng)的測(cè)度的

關(guān)于高維測(cè)度,，其實(shí)高維測(cè)度可視為一維勒貝格測(cè)度的笛卡爾積

“比如從點(diǎn)到線(xiàn)段，線(xiàn)段游低維度的點(diǎn)組成”

這句話(huà)是錯(cuò)的,，點(diǎn)是可數(shù)集,，線(xiàn)段是連續(xù)統(tǒng),，有本質(zhì)的區(qū)別，不能將線(xiàn)段視為由點(diǎn)組成的,�,？梢赃@么說(shuō)，單個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合,，測(cè)度一定是0，而線(xiàn)段,，你可以將他視為,，測(cè)度不為0的可測(cè)集的最小單位

作者: の小南灬 時(shí)間: 2014-7-8 15:24
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作者: pacelife 時(shí)間: 2014-7-8 21:05
很有收獲，希望樓主多發(fā)類(lèi)似的文章

作者: 1032220424 時(shí)間: 2014-7-8 22:33
太能研究了,，看暈了

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-7-8 23:36

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
% H) A2 U' G$ Q% e' J“比如,，［1,10]的線(xiàn)段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個(gè)線(xiàn)段子集嗎,？”* }% A; Y( O& J! B$ O9 n
- N! e+ _9 g8 |7 ^, f
可以,，可測(cè)集的線(xiàn)性可加性質(zhì)

呵呵，大俠,，我希望你仔細(xì)看下這個(gè)問(wèn)題,。這個(gè)問(wèn)題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義,。
你轉(zhuǎn)的文章里有這樣的一個(gè)性質(zhì)：

若干個(gè)（但是至多可數(shù)無(wú)窮個(gè)）彼此不相交的子集,，它們并在一起得到的子集的測(cè)度，剛好等于這些子集各自測(cè)度之和,。

請(qǐng)注意這個(gè)彼此不相交子集的概念,。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫(xiě)成[1,5]和[5,10]兩段,，不是嗎,？因?yàn)樽蛹嘟涣恕＿@個(gè)不用再去看什么書(shū)去論證,，因?yàn)槲覀冎皇窃谡f(shuō)集合問(wèn)題,。
同樣的，當(dāng)我們說(shuō)[5,10]去掉一個(gè)端點(diǎn)5,，于是變成了(5,10],。那么，無(wú)論他是否影響測(cè)度（其實(shí)俺不敢茍同不影響說(shuō),，因?yàn)橹粡臄?shù)學(xué)角度說(shuō)沒(méi)問(wèn)題,，但是延伸到一個(gè)整體世界角度就很難講了，后面說(shuō)）,，無(wú)論是否影響測(cè)度,，都不代表說(shuō)(5,10]可以表示一個(gè)線(xiàn)段,。換句話(huà)說(shuō)，（5,，10] 和[5,10]的測(cè)度相同,，但不應(yīng)該是一樣的東西。如果這么說(shuō)沒(méi)問(wèn)題,，那么問(wèn)題就來(lái)了,，按照這樣的測(cè)度定義，那么一條線(xiàn)段就不該是若干條線(xiàn)段的疊加,，雖然在測(cè)度上相等,，但是組成新線(xiàn)段的各個(gè)部分并非都是線(xiàn)段。沒(méi)錯(cuò),，這樣說(shuō),，數(shù)學(xué)上沒(méi)有問(wèn)題，只是無(wú)論是哲學(xué)家還是工程師都要頭疼了,。哈哈,。
于是，再說(shuō)說(shuō)那個(gè)延伸到整體世界角度的問(wèn)題,。舉個(gè)例子,，大俠買(mǎi)了一量蘭博停在門(mén)口。這是起始時(shí)間點(diǎn),，然后你開(kāi)出去,，轉(zhuǎn)一圈又停回到和原先完全相同的位置,，這是終止時(shí)間點(diǎn),。這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于這量車(chē)在四維空間中的一個(gè)變化。那么問(wèn)題就來(lái)了,，如果我拿掉最后一個(gè)時(shí)間點(diǎn),，會(huì)發(fā)生什么。其結(jié)果就是終態(tài)不可確定,。那么也就是說(shuō)這量蘭博在最后那個(gè)時(shí)間點(diǎn)的變化可能是任意的,，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個(gè)終態(tài)（1000米），也可能跳躍回初態(tài)（0米）,。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個(gè)折疊現(xiàn)象,。將路徑折疊，初點(diǎn)和終點(diǎn)重疊而去掉終點(diǎn),，那么就能做到超時(shí)空旅行,。但這可能嗎？而如果存在這個(gè)終點(diǎn),，也就是有一個(gè)必然的結(jié)果,，那么就一定存在初,、終差異，就不可能實(shí)現(xiàn)所謂的超時(shí)空穿行,。我們不討論到底能不能超時(shí)空,，能不能折疊，但至少通過(guò)這樣的例子我們很清楚有沒(méi)有這個(gè)點(diǎn)是完全不同的,，而且其測(cè)度（或者應(yīng)該換一種叫法,，叫量度？）是不同的,。

再回到所謂的維度上,。
我們先不討論說(shuō)線(xiàn)段是不是由點(diǎn)組成，我們既不討論其連續(xù)性,，也不討論其測(cè)度。我們換一種說(shuō)法,，如果存在一個(gè)線(xiàn)段,，那么我一定能在這個(gè)線(xiàn)段上找到點(diǎn)，無(wú)論能找到多少個(gè),，但我一定能找到,。因此說(shuō)，點(diǎn)和線(xiàn)段之間至少構(gòu)成一個(gè)必要條件關(guān)系,，也就是說(shuō),，存在一個(gè)線(xiàn)段，就一定存在線(xiàn)段上的點(diǎn),。至于是不是線(xiàn)段上的點(diǎn)的組合構(gòu)成了這個(gè)線(xiàn)段,，從測(cè)度上說(shuō)不是，我也不認(rèn)同它是,。所以才要在那句“線(xiàn)段由低維度的點(diǎn)組成”后面加上一個(gè)限制“并不是說(shuō)線(xiàn)段上該有多少個(gè)點(diǎn)”,。
另外，大俠說(shuō)到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別,，也因此說(shuō)線(xiàn)段不能說(shuō)成由點(diǎn)組成,。那么存在這樣一個(gè)問(wèn)題又。（當(dāng)然,，俺數(shù)學(xué)一般,，如果有錯(cuò)，大俠指出）因?yàn)楦呔S度可以解釋為低維度的笛卡爾積,，而笛卡爾積是兩個(gè)集合的積,，確切的說(shuō)是兩個(gè)集合中的各個(gè)元素的積的集合。那么,，如果這兩個(gè)集合不是可數(shù)集,，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集，你該如何求積呢,？之前在跟P大討論無(wú)限小數(shù)的時(shí)候也討論過(guò)這個(gè)問(wèn)題,，兩個(gè)無(wú)限位的數(shù)能否四則運(yùn)算。哈哈,。那么這里的問(wèn)題恐怕比那個(gè)還要復(fù)雜,。換句話(huà)說(shuō)，如果兩個(gè)連續(xù)統(tǒng)沒(méi)辦法求積,，那么該如何表達(dá)高維度的特征呢,？當(dāng)然，我們只是探討,，不能論證這種觀點(diǎn)的正確性,。
另外，也說(shuō)一句,，如果高維度都是一維勒式測(cè)度的笛卡爾積,，那么從0維到1維的過(guò)程該如何解釋?zhuān)慨吘裹c(diǎn)是沒(méi)有維度的。

作者: 房頂 時(shí)間: 2014-7-9 08:59
文筆生動(dòng)有趣,，但看得真心頭大

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-9 10:25

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 23:36 ' D1 R- G* X' P
呵呵,，大俠，我希望你仔細(xì)看下這個(gè)問(wèn)題,。這個(gè)問(wèn)題不是探討是否可加,，而是探討所謂的定義。2 q# F/ t$ \' X/ Z5 P, |9 ?
你轉(zhuǎn)的文章里 ...

首先回答第一個(gè)問(wèn)題,，可以在測(cè)度論的教科書(shū)上找到

數(shù)學(xué)上集合彼此不相交,，可以允許兩種情況，1是交集是空集,，2是交集是可數(shù)集,，測(cè)度為0，都屬于彼此不相交,；也就是說(shuō),，2個(gè)集合求交集后得到的集合，只要測(cè)度為0,，就是不相交,，哪怕這個(gè)交集是可數(shù)無(wú)窮集合

然后第二問(wèn)題

為了簡(jiǎn)化敘述，我假設(shè)自己開(kāi)車(chē),，從0開(kāi)到100,，也就是形成一個(gè)閉集[0,100]；現(xiàn)在你的想法是把100這個(gè)點(diǎn)挖掉,，構(gòu)成一個(gè)開(kāi)集[0,100),，因?yàn)樽詈?00那個(gè)點(diǎn)不存在,，所以你認(rèn)為整個(gè)運(yùn)動(dòng)也不存在？,？其實(shí)可以這么說(shuō),，極限想必都學(xué)過(guò)，開(kāi)集[0,100),，雖然在100那個(gè)點(diǎn)沒(méi)有定義了,，但是可以把他視作一個(gè)極限。

我們來(lái)構(gòu)造一個(gè)函數(shù),，你就能想明白一個(gè)問(wèn)題,，我們構(gòu)造函數(shù)f(x):，當(dāng)x=2時(shí),，y不存在,，當(dāng)x不等于2之外的所有實(shí)數(shù)時(shí)，y=x,；現(xiàn)在我們來(lái)考慮,，當(dāng)x從0不斷趨近與2時(shí)，y=f(x)的最終趨勢(shì),？？,，雖然x=2時(shí),，y是不存在的，但是你畫(huà)個(gè)圖就明白了,，x不斷向2趨近時(shí),，y是不斷向2趨近的，這和y在x=2這個(gè)點(diǎn)上沒(méi)有定義沒(méi)有任何關(guān)系,。那么我們回過(guò)頭來(lái)看,，在開(kāi)集[0,100)上開(kāi)車(chē)，雖然100無(wú)法到達(dá),，但是可以無(wú)限趨近100,，其最終趨勢(shì)依然是100，我開(kāi)車(chē)總距離也終有一天可以到達(dá)100（雖然其花費(fèi)時(shí)間為無(wú)窮,，因?yàn)?00這點(diǎn)沒(méi)有定義,，不可到達(dá)），這就是為什么,，一個(gè)閉集,，挖掉端點(diǎn)上的單點(diǎn)，形成一個(gè)開(kāi)集后,，不影響集合測(cè)度,。

最后是第三個(gè)問(wèn)題

首先強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),，數(shù)學(xué)上沒(méi)有0維，所以沒(méi)有1維是0維通過(guò)笛卡爾積升級(jí)過(guò)來(lái)的說(shuō)法

然后,，關(guān)于線(xiàn)段和點(diǎn)的關(guān)系,，務(wù)必要拋棄“線(xiàn)段是由點(diǎn)構(gòu)成”這個(gè)想法，線(xiàn)段和點(diǎn)是2個(gè)獨(dú)立的元素,，但是線(xiàn)段上可以找到無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),，除此之外，再無(wú)任何關(guān)系,，切記這個(gè),。

“因?yàn)楦呔S度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個(gè)集合的積,，確切的說(shuō)是兩個(gè)集合中的各個(gè)元素的積的集合,。那么，如果這兩個(gè)集合不是可數(shù)集,，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集，你該如何求積呢,？”

要回答這個(gè)問(wèn)題,，首先給出測(cè)度的嚴(yán)格定義，看不懂沒(méi)關(guān)系,，我會(huì)用最通俗的語(yǔ)言來(lái)解釋

設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù),，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數(shù)，且ρ滿(mǎn)足：
（1）（非負(fù)性）對(duì)任意的A∈Γ,，有ρ(A)≧0;
（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0,；
（3）（完全可加性）對(duì)任意的一列兩兩不交集合A1，A2,，……,，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱(chēng)ρ是定義在X上的一個(gè)測(cè)度,，Γ中的集合是可測(cè)集,，不在Γ中的集合是不可測(cè)集。

所以呢,，測(cè)度其實(shí)就是一個(gè)函數(shù),，自變量是一個(gè)集合，因變量是一個(gè)實(shí)數(shù),，至于這個(gè)函數(shù)的運(yùn)算法則,，不同的運(yùn)算法則對(duì)應(yīng)著不同的測(cè)度；用我們常識(shí)所形成的法則，得到線(xiàn)段（集合）的一個(gè)度量的實(shí)數(shù),，我們稱(chēng)為勒貝格測(cè)度

我來(lái)詳細(xì)解釋?zhuān)绾螐?維勒貝格測(cè)度來(lái)形成2維勒貝格測(cè)度

定義集合A(0,1),，定義集合B(0,2)，（這里先取開(kāi)集,，其實(shí)換成閉集是一樣的）,，也就是，A是0到1的線(xiàn)段,，B是0到2的線(xiàn)段,，記他們的勒貝格測(cè)度為L(zhǎng)(A)=1，L(B)=2
好,，現(xiàn)在我們作集合A和B的笛卡爾積AxB={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)},，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么？,？這是長(zhǎng)方形的4個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),，長(zhǎng)為1，寬度為2
然后,，關(guān)于勒貝格測(cè)度,，有一個(gè)定理，證明略麻煩,，想詳細(xì)了解的話(huà),，請(qǐng)自行翻書(shū)吧，這里就不加證明的給出了：
L(AxB)=L(A)L(B)=1*2=2,，這恰恰是通過(guò)AB兩個(gè)集合作笛卡爾積獲得的長(zhǎng)方形的面積,，所以，2維測(cè)度是面積,，是通過(guò)1維測(cè)度升級(jí)而來(lái)的，依次可推算3維甚至抽象的更高維,，都可以求得相應(yīng)測(cè)度

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-7-9 13:58

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-9 10:25 . _ `* G. Z8 Y! T8 u+ B$ v
首先回答第一個(gè)問(wèn)題,，可以在測(cè)度論的教科書(shū)上找到
- z1 z" n: d4 L/ R2 h p! T$ O( D/ V3 Z/ L7 c
數(shù)學(xué)上集合彼此不相交，可以允許兩種情況,，1是交集是 ...

1,。呵呵，大俠數(shù)學(xué)玩得挺好,。如果測(cè)度的相交定義不同于一般集合的相交定義,，那么俺就可以接受和理解這個(gè)定義。同樣的,，第二個(gè)問(wèn)題也可能不是問(wèn)題,。
2。說(shuō)說(shuō)第三個(gè)問(wèn)題。首先來(lái)說(shuō),，數(shù)學(xué)和物理學(xué)中,，是存在0維的。而0維對(duì)應(yīng)的是點(diǎn),。這個(gè)不是俺亂說(shuō)的,。
在 "Curious About Astronomy". 一文中提到了數(shù)學(xué)上的一個(gè)定義，如下：
"The dimension of a manifold is the minimum integer number of co-ordinates necessary to identify each point in that manifold."
翻譯過(guò)來(lái)就是：一個(gè)描述體的緯度就是用以描述該體的最小坐標(biāo)數(shù)的整數(shù)值,。
因此來(lái)說(shuō),，描述一個(gè)點(diǎn)，我們需要的最小坐標(biāo)數(shù)為0,，所以,，點(diǎn)是0維的。
當(dāng)然,，這也可以解釋為什么點(diǎn)的測(cè)度為0,。（笑）
關(guān)于線(xiàn)段和點(diǎn)的關(guān)系，俺認(rèn)為俺已經(jīng)解釋的很清楚了,，也并不與大俠存在分歧,。所以，如果你一定要強(qiáng)調(diào)的話(huà),，俺有些不解,。哈哈。
至于說(shuō)到笛卡爾積的問(wèn)題,。我想大俠應(yīng)該是誤解我的問(wèn)題了,。
我在描述的時(shí)候，描述的是笛卡爾積的本質(zhì)問(wèn)題,，也就是兩個(gè)集合求積,，實(shí)際上就是求兩個(gè)集合中各元素的積，將得到的所有結(jié)果形成一個(gè)新的集合,。這個(gè)描述是沒(méi)有問(wèn)題的,。而這個(gè)描述并不否定你可以按照邊界法計(jì)算�,；蛘邠Q句話(huà)說(shuō),，對(duì)于任意一個(gè)可知的確切元素，你都可以求積,。你也可以通過(guò)邊界求積法得到一個(gè)新的范圍,。這都不是我要問(wèn)的問(wèn)題。我的問(wèn)題是你如何確定這個(gè)計(jì)算可運(yùn)算性,。當(dāng)然,，這也涉及到我很P大爭(zhēng)論范疇，無(wú)限小數(shù)的四則運(yùn)算性。呵呵,，至今無(wú)果,。比如說(shuō)，兩個(gè)集合A,B,。A=[a,b],，B=[c,d]。而a,b,c,d均為無(wú)限不循環(huán)小數(shù),，且不能用類(lèi)似pi,e,，等形式表示，那么你該如何計(jì)算這樣的兩個(gè)集合的積,。這就是問(wèn)題,。當(dāng)然，我不確定這樣的無(wú)限小數(shù)是否存在,，比如這樣的一個(gè)小數(shù),0.1121112111121111112......
至少來(lái)說(shuō),，通過(guò)跟P大的討論，對(duì)于有理數(shù)范疇的無(wú)限小數(shù),，無(wú)論是可直接四則也好,，還是間接四則也好，其可運(yùn)算,。但對(duì)于無(wú)理數(shù)范疇,，就撲朔迷離了。那么,，對(duì)于這樣的情況,，其笛卡爾積是什么？
于是,，再回到那個(gè)維度的問(wèn)題上,。
前面我已經(jīng)給出了關(guān)于維度數(shù)的定義，說(shuō)明了點(diǎn)是0維的,。那么從點(diǎn)到線(xiàn)或者說(shuō)從0維到1維的積又是什么,？或者說(shuō)，如何從0到1,？或者說(shuō)，如果不存在從0到1,，那么離散論又該如何解釋?zhuān)孔罱咏囊粋€(gè)例子就是粒子的散射范圍問(wèn)題,。每一次經(jīng)過(guò)原子核的粒子都會(huì)形成一個(gè)隨機(jī)的新路徑打到接收面上，換句話(huà)說(shuō),，不存在連續(xù)性,，但最終形成的是一個(gè)面。再有的例子就是概率。比如一個(gè)正態(tài)函數(shù),，其描述的也是一個(gè)離散的成型例子,。

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-9 16:12
打錯(cuò)，占樓編輯掉

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-9 16:13

zerowing 發(fā)表于 2014-7-9 13:58 - s7 f- d/ d0 @4 _
1,。呵呵,，大俠數(shù)學(xué)玩得挺好。如果測(cè)度的相交定義不同于一般集合的相交定義,，那么俺就可以接受和理解這個(gè)定 ...

0維,，數(shù)學(xué)上是很麻煩的東西啦，在集合論上對(duì)應(yīng)的是空集,，而空集和空集自身求笛卡爾積,，數(shù)學(xué)上是沒(méi)意義的，所以一般都是避開(kāi)討論0維,。（逃避主義,，笑）

其實(shí)數(shù)學(xué)上有很多逃避主義（繼續(xù)笑，真的很多）,，比如有個(gè)概念叫做幾乎處處(almost everywhere),，他是說(shuō)，若一個(gè)命題被稱(chēng)為幾乎處處成立的,，如果把這個(gè)命題不能成立的點(diǎn)全部抽出來(lái),，構(gòu)成一個(gè)集合，而這個(gè)集合的測(cè)度是0,。這個(gè)概念的想法是,，測(cè)度為0的集合對(duì)一個(gè)命題整體沒(méi)有任何貢獻(xiàn)，所以我們可以把那些不能成立的點(diǎn)逐個(gè)挖出來(lái)去掉不考慮,。（鴕鳥(niǎo)政策,，當(dāng)初我學(xué)到這個(gè)概念時(shí)候笑了老半天）

舉個(gè)例子吧，黎曼積分（我們大學(xué)里學(xué)的最普通的定積分,，就是黎曼積分）,，一個(gè)函數(shù)是黎曼積分可積的，則其充要條件為該函數(shù)在其定義域上是幾乎處處連續(xù)的,。再舉個(gè)例子,，級(jí)數(shù)有種收斂形式叫做幾乎處處收斂，相比你知道這是怎么回事了,。（幾乎處處這個(gè)概念真的很好笑）

接著來(lái)談?wù)劦芽柗e的可計(jì)算性

先說(shuō)可數(shù)集,，可數(shù)集的元素可以一個(gè)一個(gè)抽出來(lái)逐個(gè)排列，2個(gè)可數(shù)集求笛卡爾積容易理解,，很直觀,，就不多說(shuō)了
關(guān)鍵在于,，2個(gè)不可數(shù)集，就是連續(xù)統(tǒng),，求笛卡爾積,，老實(shí)說(shuō)，這個(gè)運(yùn)算,，在數(shù)學(xué)上是有爭(zhēng)議的,。
之前說(shuō)過(guò)，不可將連續(xù)統(tǒng)視為由單點(diǎn)構(gòu)成,，但是笛卡爾積,，卻要求逐個(gè)點(diǎn)抽出構(gòu)成有序?qū)Γ@不是矛盾嘛,？,？解決辦法就是，選擇公理,，而選擇公理,，在數(shù)學(xué)上存在爭(zhēng)議。于是乎,，數(shù)學(xué)就是這么個(gè)麻煩的東西,，最簡(jiǎn)單的笛卡爾積運(yùn)算，都有爭(zhēng)議,，所以,，不是狂熱者，別取深究了,。

關(guān)于無(wú)窮小數(shù)的問(wèn)題,，其實(shí)是這么回事，首先可以嚴(yán)格證明,，無(wú)理數(shù)的存在性,；其次，數(shù)學(xué)上有很多這樣的情況,，一個(gè)東西存在,，卻沒(méi)有有效的表示手段，比如大量的特殊函數(shù),，都無(wú)法用我們熟知的式子寫(xiě)出其表達(dá)式,，只能規(guī)定一個(gè)符號(hào)，告知這個(gè)符號(hào)就是這個(gè)函數(shù),；無(wú)理數(shù)是同樣情況,，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)，要將其完完全全的表達(dá)出來(lái),，不存在這樣的東西,，所以，只能用小數(shù)去逼近,，所以,，無(wú)理數(shù)求積運(yùn)算，我們也只能用小數(shù)來(lái)近似表示,。

最后要糾正你兩個(gè)錯(cuò)誤
1是粒子散射問(wèn)題,，忽略粒子波粒二象性的話(huà)，最后得到的點(diǎn)集,，他是有理數(shù)集,，而有理數(shù)集是可數(shù)集，測(cè)度為0,，其對(duì)整個(gè)平面的貢獻(xiàn)可以忽略,，不可將其視為一個(gè)平面。雖說(shuō)你直觀上認(rèn)為點(diǎn)集布滿(mǎn)了平面,，但是從數(shù)學(xué)上講,，其實(shí)平面上有很多縫隙，這些縫隙構(gòu)成了無(wú)理數(shù)集,，而無(wú)理數(shù)集是不可數(shù)集,，其集合中的點(diǎn)的“數(shù)目”要比有理數(shù)集的點(diǎn)多的多。
2就是正態(tài)分布,，他是連續(xù)型隨機(jī)分布,，其樣本空間是定義在一個(gè)不可數(shù)集，也就是連續(xù)統(tǒng)上的,，數(shù)學(xué)上不研究其離散性質(zhì),，因?qū)︖B續(xù)統(tǒng)來(lái)說(shuō)單點(diǎn)測(cè)度為0，故對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)分布,，取單點(diǎn)的概率永遠(yuǎn)為0,，沒(méi)有研究的價(jià)值。

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-7-9 23:59
呵呵,，感謝大俠如此大量文字的回復(fù),。
其實(shí)說(shuō)道逃避主義或者鴕鳥(niǎo)主義，只要是以數(shù)學(xué)為基出的學(xué)科都存在這樣的問(wèn)題,。理論物理學(xué)中也遍地都是,。對(duì)不能滿(mǎn)足其歸納的，就干脆排出掉,。也算是一種果斷的手法吧,。相比之下，哲學(xué)和試驗(yàn)物理學(xué)就是反面,。所以,，歐洲的那幫子瘋子們才撞出了一大堆亞粒子,，裝出一個(gè)質(zhì)量場(chǎng)論出來(lái)。
數(shù)學(xué)上的爭(zhēng)議,，說(shuō)實(shí)話(huà)有時(shí)看著就像小孩吵架,，窮折騰。但是吵吧,，當(dāng)樂(lè)子了解好了,。真去叫真，就真的什么都干不了了,。
關(guān)于粒子散射問(wèn)題,，只用這種空隙論怕是不能解釋。換句話(huà)說(shuō),，數(shù)學(xué)上可以說(shuō)我去掉端點(diǎn)點(diǎn),，測(cè)度不變。換句話(huà)說(shuō)邊界點(diǎn)是有限可數(shù)的,。（其實(shí)這里很想問(wèn),，一個(gè)正方形的邊界是連續(xù)統(tǒng)笛卡爾積得到的，道理上說(shuō),，如果低維的端點(diǎn)如果可以做為了0測(cè)度拿掉,，那么最后得到的高維的正方形邊沿究竟是一個(gè)連續(xù)統(tǒng)還是可數(shù)集？如果說(shuō)是可數(shù)集,，但畢竟事實(shí)上他也是線(xiàn)段,，這不就又矛盾了？如果是連續(xù)統(tǒng),，那么(1,2)*(2,，3)得到的應(yīng)該是(2,6)還是[2,6]？）我們先不說(shuō)這個(gè),，還是先說(shuō)粒子散射,。如果我們認(rèn)為粒子散射的邊界是一個(gè)可數(shù)集，那么所有解釋都可以說(shuō)得通,，因?yàn)檫吔缫詢(xún)?nèi)和邊界以外不連續(xù),，或者說(shuō)不相交。但如果邊界是不可數(shù)集,，那就代表著粒子不能完全覆蓋邊界,，間隙同外側(cè)相連，就成了相交或連續(xù),。換句話(huà)說(shuō),，邊界就模糊了。,。,。,。。
我得說(shuō),，我頭大了,。

作者: zdd5254 時(shí)間: 2014-7-10 10:02

樓主見(jiàn)解獨(dú)特

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-7-10 21:50
crazypeanut大俠，首先謝謝你專(zhuān)業(yè)的講解,。
我的問(wèn)題---為什么不能認(rèn)為線(xiàn)段是由點(diǎn)構(gòu)成的呢？這樣認(rèn)為有什么不好么,？
比如說(shuō)拿一把刀去砍一個(gè)線(xiàn)段,，姑且把這把刀叫做戴德金刀，刀每次都會(huì)砍中一點(diǎn),，也只能砍中一點(diǎn),。所以我認(rèn)為線(xiàn)段是由點(diǎn)構(gòu)成的。
你看看哪里不對(duì),？

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-10 22:09

Pascal 發(fā)表于 2014-7-10 21:50 . r+ P1 V$ o: C7 e; L* I
crazypeanut大俠,，首先謝謝你專(zhuān)業(yè)的講解。1 e( i% t4 ~, r
我的問(wèn)題---為什么不能認(rèn)為線(xiàn)段是由點(diǎn)構(gòu)成的呢,？這樣認(rèn)為有什么 ...

這樣會(huì)形成靜矢不動(dòng)的悖論,，將點(diǎn)和線(xiàn)段嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)是數(shù)學(xué)上回避悖論的一種有效手段

作者: crazypeanut 時(shí)間: 2014-7-10 22:14

zerowing 發(fā)表于 2014-7-9 23:59 ' b% \4 U5 W. C1 j; @
呵呵，感謝大俠如此大量文字的回復(fù),。: M1 s: ]. u0 m) z8 p/ y) Z. q
其實(shí)說(shuō)道逃避主義或者鴕鳥(niǎo)主義,，只要是以數(shù)學(xué)為基出的學(xué)科都存在這樣 ...

哈哈，研究這個(gè)確實(shí)會(huì)頭大,，所以就點(diǎn)到為止吧

最后說(shuō)一點(diǎn),，粒子散射到墻面（忽略波粒二象性，這是純數(shù)學(xué)問(wèn)題,，不是物理）,，形成的點(diǎn)集是有理數(shù)集，在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格可證明的,，因?yàn)閱吸c(diǎn)的極限只能收斂到有理數(shù),，無(wú)法收斂到實(shí)數(shù)，涉及到實(shí)數(shù)的完備性,。為了避免頭大,，就不細(xì)說(shuō)了，哈哈

作者: 智狼野心 時(shí)間: 2014-7-11 10:18
就是一條線(xiàn),，讓樓主搞出來(lái)幾座大山,！

作者: 浪淘沙6 時(shí)間: 2014-7-11 12:53
暈~

作者: 浪淘沙6 時(shí)間: 2014-7-11 12:53
不過(guò)可以在思想上給人啟發(fā)，不錯(cuò)

作者: HZ20061102 時(shí)間: 2014-7-11 20:51
不懂,！

作者: 背景音樂(lè) 時(shí)間: 2014-7-12 23:46
難...

作者: の小南灬 時(shí)間: 2014-7-14 09:25
提示: 作者被禁止或刪除內(nèi)容自動(dòng)屏蔽

作者: 至此一生 時(shí)間: 2014-7-30 16:52
亂入了吧,，這里不是機(jī)械論壇么

作者: amone 時(shí)間: 2014-9-18 15:28
云里霧里,！

作者: 星垂風(fēng)野 時(shí)間: 2014-9-19 21:15
要死要死啊。

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