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標(biāo)題: 彈性力學(xué)中的一個(gè)問題 [打印本頁]

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-23 17:12
標(biāo)題: 彈性力學(xué)中的一個(gè)問題
這兩天重溫彈性力學(xué),，又把之前沒解決的問題給想起來了,，連著三四天自己沒法給出解釋，陷進(jìn)黑洞自己出不來了,，睡覺都不香了,，現(xiàn)在求大俠抽醒,。
極坐標(biāo)下的應(yīng)變問題，
圖中的這個(gè)環(huán)向的應(yīng)變,，大俠們肯定都知道�,，F(xiàn)在就是前面"v/r”這部分應(yīng)變問題。照本宣科,，照書的方式理解沒有問題,。
但就我自己想，想出問題來了。位移函數(shù)v是r和θ的函數(shù),，a點(diǎn)的環(huán)向位移v（a）=v(r,θ),，d點(diǎn)的環(huán)向位移v（d）=v（r,，θ+dθ）,，dv按第二個(gè)圖,。

這建立在位移函數(shù)的r和θ的兩個(gè)變量是沒有變形前的坐標(biāo),，在沒有變形前a的坐標(biāo)就是(r,θ),，d點(diǎn)的坐標(biāo)就是（r,，θ+dθ）,，兩點(diǎn)的變化只有dθ的變化,。

難道是我認(rèn)識(shí)出錯(cuò)誤了,，位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo),？既如此，dv應(yīng)該是第三個(gè)圖,。

也是沒有v/r項(xiàng),。

照書中理解，這個(gè)環(huán)向位移是坐標(biāo)點(diǎn)v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）倆點(diǎn)引起的弧長(zhǎng)差,，這兩個(gè)坐標(biāo)一個(gè)是變形前的圓盤a的坐標(biāo)，一個(gè)是變形后的圓盤d點(diǎn)的坐標(biāo),。

矛盾點(diǎn)是,，單從函數(shù)v(r,θ)上說，無論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標(biāo),，還是變形后圓盤定的坐標(biāo),，dv都沒有v/r，除非一個(gè)是變形后的坐標(biāo)一個(gè)是變形前的坐標(biāo),。求大俠把我從牛角尖里拉出來,。

補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-5-24 09:00):
發(fā)帖，錯(cuò)把u/r打成v/r,。

補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-5-27 12:31):
糾結(jié)已經(jīng)解決

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-23 18:56
照書中理解,，這個(gè)環(huán)向位移是坐標(biāo)點(diǎn)v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點(diǎn)引起的弧長(zhǎng)差,，這兩個(gè)坐標(biāo)一個(gè)是變形前的圓盤a的坐標(biāo),，一個(gè)是變形后的圓盤d點(diǎn)的坐標(biāo)。

你這個(gè)就理解錯(cuò)誤了,，沒弄懂書中意思,。環(huán)向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點(diǎn)變形后的弧長(zhǎng)差。

位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo),？這個(gè)你也理解錯(cuò)了,，位移函數(shù)描述的是變形的大小,，跟變形后的坐標(biāo)沒有關(guān)系，要有關(guān)系也是一個(gè)點(diǎn)變形后的坐標(biāo)是原始坐標(biāo)加上位移函數(shù)的值

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 08:42
兩點(diǎn)的長(zhǎng)度變化是dv,，原始長(zhǎng)度是rdθ,，所以只有環(huán)向位移引起的應(yīng)變?yōu)閐v/rdθ，不知道樓主糾結(jié)的v/r,，在哪里出現(xiàn),？

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 08:46
如果是圖上的v/r，這只是表示一個(gè)點(diǎn)的切向角度變化,。跟切向應(yīng)變不是一回事,。因?yàn)閞dθ=v

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 08:55
v/r只是表示每一個(gè)點(diǎn)的角度位移，就是說,，每個(gè)點(diǎn)移動(dòng)了多少度,。v=2πr，說明一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了一周,，樓主說過的 v/r”這部分應(yīng)變問題,，理解就錯(cuò)了，這不是應(yīng)變,。跟徑向應(yīng)變一樣,，要求的是兩點(diǎn)變形前后的長(zhǎng)度差,，而不是一個(gè)點(diǎn)的位移,，如果兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)位移為du，應(yīng)變就是0,。不要將位移和應(yīng)變混為一談,。比如剛體位移，就沒有應(yīng)變,。

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 09:03

云制造發(fā)表于 2016-5-24 08:46
% K3 O' E4 d: e% D$ n6 _# U+ P1 T如果是圖上的v/r,，這只是表示一個(gè)點(diǎn)的切向角度變化。跟切向應(yīng)變不是一回事,。因?yàn)閞dθ=v

u/r不是很好理解嗎,，只有徑向位移u，則兩點(diǎn)都沿著原來不變的角度移動(dòng)u,，則r就變成了r+u,，這個(gè)時(shí)候，兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng),，不就是（r+u）dθ,，而原來兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)是rdθ，所以應(yīng)變是兩者之間的差值再除以rdθ,，就是u/r

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 09:13
樓主要用物理場(chǎng)景來理解,，有物理場(chǎng)景,，能更好的理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。這個(gè)極坐標(biāo)應(yīng)變應(yīng)該是很好理解的,。你說的u/r,。就想象是一個(gè)固定頂角（dθ）的三角形，而三角形的底邊在向外移動(dòng)的過程（就是u增大）,，是不是底邊會(huì)不斷拉長(zhǎng),，應(yīng)變不斷增大

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 09:15
底邊不斷拉長(zhǎng)，應(yīng)變不斷增大,。就是切向應(yīng)變不斷增大,。三角形的底邊長(zhǎng)就是切向的長(zhǎng)

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-24 09:28

云制造發(fā)表于 2016-5-24 09:03
' n6 M- ^7 M. o% q8 H- gu/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u,，則兩點(diǎn)都沿著原來不變的角度移動(dòng)u,，則r就變成了r+u，這個(gè)時(shí)候,，兩點(diǎn) ...

我知道按書理解可以理解,，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚,。
咱們換一個(gè)方式,，環(huán)向位移V是關(guān)于r和θ的函數(shù)，r和θ是原始坐標(biāo)（沒有加載荷的時(shí)候）,。經(jīng)過平衡條件,、邊界條件、相容條件,，我們可以把應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)都推導(dǎo)出來,，關(guān)于r和θ的函數(shù)（注意，r和θ是原始坐標(biāo)）,。
假設(shè)環(huán)向位移函數(shù)V=v（r,，θ），分別帶入d點(diǎn)和a點(diǎn)的坐標(biāo),，那么d點(diǎn)處的環(huán)向位移Vd=v（r,，θ+dθ），a點(diǎn)處的環(huán)向位移Va=v（r,，θ）,。那么弧長(zhǎng)ad的增長(zhǎng)量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）,，應(yīng)變?chǔ)?δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）=（v對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)）*dθ（帖子中打不出來偏導(dǎo)數(shù)符號(hào),，我就暫時(shí)用Χ表示該偏導(dǎo)數(shù)）=Χdθ
那么總應(yīng)變?chǔ)?Χ/r,，其中并不包括u/r。
這是建立在r和θ原始坐標(biāo),，假設(shè)位移函數(shù)V情況下,，從偏導(dǎo)數(shù)定義推出來的。
因此,，這個(gè)時(shí)候我就假設(shè)的把V看成是r和θ變形后的函數(shù),，這樣推出來也不對(duì)。（帖子中的第二步）
若想包括u/r這一項(xiàng),，單獨(dú)的從環(huán)向位移函數(shù)V的偏導(dǎo)數(shù)中我找不出來,，我就試一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）兩點(diǎn)的弧長(zhǎng)差的想法,，但是這個(gè)一個(gè)是變形前的坐標(biāo)參照，一個(gè)是變形后的,，肯定不對(duì),。這就是我現(xiàn)在的矛盾點(diǎn)，腦子繞在這里出不來了,。
不知道大俠看懂我的矛盾點(diǎn)了沒,？

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-24 09:48

云制造發(fā)表于 2016-5-24 09:03
7 d# z. p* R7 |) D2 ^u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u,，則兩點(diǎn)都沿著原來不變的角度移動(dòng)u,，則r就變成了r+u，這個(gè)時(shí)候,，兩點(diǎn) ...

再補(bǔ)充一下,，我們知道一個(gè)函數(shù)V=v（r,，θ）,，這個(gè)函數(shù)表示的是位移，現(xiàn)在求a點(diǎn)（r,，θ）和d點(diǎn)（r,，θ+dθ）兩點(diǎn)的位移，怎么求,？帶進(jìn)去,，分別是v（r，θ）和v（r,，θ+dθ）
那這兩點(diǎn)的函數(shù)之差（位移之差）怎么求,？v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）=Χdθ,。,。。,。,。Χ表示v對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)
這個(gè)位移之差是什么？變形量δ,。
應(yīng)變ε=δ/rdθ=Χ/r,。不包含u/r項(xiàng)。

這是在已知函數(shù)V的情況下

作者: zerowing 時(shí)間: 2016-5-24 14:50
看你的思維很混亂的說,。
分清什么是切應(yīng)力什么是正應(yīng)力,。要明白分別由什么產(chǎn)生。徑向位移產(chǎn)生的弧長(zhǎng)變化對(duì)應(yīng)的是周向切應(yīng)力,。而周向位移對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)變化對(duì)應(yīng)的是周向正應(yīng)力,。以此類推。

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-24 15:51

zerowing 發(fā)表于 2016-5-24 14:50
& W. d1 O n3 i* p6 K看你的思維很混亂的說,。/ ^! Y8 |( p- i) r
分清什么是切應(yīng)力什么是正應(yīng)力,。要明白分別由什么產(chǎn)生。徑向位移產(chǎn)生的弧長(zhǎng)變化 ...

零俠,，位移是一個(gè)單元一個(gè)單元的應(yīng)變疊加來的,，就切出來的圓盤上的一個(gè)微小塊來說，徑向應(yīng)變是由徑向正應(yīng)力引起的,，環(huán)向應(yīng)變是由環(huán)向正應(yīng)力引起的,。我沒有覺得我的思維混亂，就是按照彈性理論推出來的總的環(huán)向應(yīng)變,，和假設(shè)位移函數(shù)V已經(jīng)存在推出來的環(huán)向應(yīng)變差u/r項(xiàng),。上樓大俠說的好，結(jié)合物理場(chǎng)景有助于理解數(shù)學(xué)模型,，但同理在不參考物理模型,，單純按數(shù)學(xué)模型推倒，兩者的最終結(jié)果應(yīng)該一樣�,，F(xiàn)在,，我的腦子中兩個(gè)結(jié)果就差一項(xiàng)。
零俠,，給俺解釋一下最后一個(gè)圖中總應(yīng)變“u/r”這部分,，按書中的方式可以理解，為什么我按照9#和10#的方式理解就少了u/r這一部分,？

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-24 17:12

不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-24 09:28% i, w4 E& O: q
我知道按書理解可以理解,，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚,。
, n! ^* j3 v7 h+ w9 @咱們換一個(gè)方式,，環(huán)向位移V是關(guān)于r和 ...

因此有了是v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）兩點(diǎn)的弧長(zhǎng)差的想法，但是這個(gè)一個(gè)是變形前的坐標(biāo)參照,，一個(gè)是變形后的,，肯定不對(duì)。

這個(gè)不是這樣的,，都是變形前的坐標(biāo),。是v(r,θ)和v（r+dr，θ+dθ）兩點(diǎn)弧長(zhǎng)差,，r是自變量,，u是因變量，不要搞混淆了,，所以不是v（r+u,，θ+dθ）。u只是位移的大小,，不是坐標(biāo)值,。

作者: zerowing 時(shí)間: 2016-5-24 22:57

不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-24 15:51
' J+ |+ ^0 o/ {" c6 f8 U1 g零俠，位移是一個(gè)單元一個(gè)單元的應(yīng)變疊加來的,，就切出來的圓盤上的一個(gè)微小塊來說,，徑向應(yīng)變是由徑向正應(yīng) ...

這樣回復(fù)你吧。
1,。V函數(shù)是周向位移,，周向位移必然伴隨夾角的變化，以及由此產(chǎn)生的部分切應(yīng)變,。
2,。U函數(shù)是徑向位移。徑向位移不產(chǎn)生夾角變化,，即不產(chǎn)生V變化,。在極坐標(biāo)系中，徑向位移產(chǎn)生第二部分的切應(yīng)變,。
3,。研究總切應(yīng)變不可能只靠一個(gè)V函數(shù)解算。所以,，我一直都搞不懂你為啥揪著個(gè)V不放，卻一直不理Ｕ函數(shù),。
所以,，我始終沒有看到你說的矛盾點(diǎn)。你只考慮V影響,，自然不會(huì)有u/r的相,。

作者: zerowing 時(shí)間: 2016-5-24 23:05
本帖最后由 zerowing 于 2016-5-24 23:08 編輯

再回答你10樓的問題,。
如果你10樓里的V函數(shù)是一個(gè)綜合函數(shù)，不是分量函數(shù)（不是單純的周向位移函數(shù)）,，如你寫的 V=v（r,θ),。那么最終位移之后的a,d坐標(biāo)會(huì)是r? 一定是r+u。

而如果你的V函數(shù)是分量函數(shù),，比如周向函數(shù),，那么V=v（θ）。跟r是毫無關(guān)系的,。你這么寫這個(gè)函數(shù)本身就有問題了,。

這么說能否清楚？

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-24 23:24

zerowing 發(fā)表于 2016-5-24 22:57
' B# W& U( r( O) h; y5 X這樣回復(fù)你吧,。& [ o# x; ~4 r
1,。V函數(shù)是周向位移，周向位移必然伴隨夾角的變化,，以及由此產(chǎn)生的部分切應(yīng)變,。0 c& P0 ^& F- W3 s8 B- ~( `
2。U函 ...

零俠,，感謝這么晚還回復(fù)我,。
你和云俠說的意思是一樣的，跟書上的解說方式一模一樣,，我都能看懂和理解,。
首先是你假設(shè)的v只與sita角相關(guān)，與r不相關(guān),，用v（r,，sita）表示有問題。我覺得沒問題,，v（r,，sita）包含v（sita），若一種方法能夠處理前者,，那么必然能夠處理后者,。

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-25 08:55

云制造發(fā)表于 2016-5-24 17:12
. p, c3 B2 @! F. a% }9 }因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點(diǎn)的弧長(zhǎng)差的想法,，但是這個(gè)一個(gè)是變形前的坐標(biāo)參照,，一個(gè)是變形 ...

假設(shè)環(huán)向位移函數(shù)V=v（r，θ）,，分別帶入d點(diǎn)和a點(diǎn)的坐標(biāo),，那么d點(diǎn)處的環(huán)向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點(diǎn)處的環(huán)向位移Va=v（r,，θ）,。那么弧長(zhǎng)ad的增長(zhǎng)量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）,，應(yīng)變?chǔ)?δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）=（v對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)）*dθ（帖子中打不出來偏導(dǎo)數(shù)符號(hào),，我就暫時(shí)用Χ表示該偏導(dǎo)數(shù)）=Χdθ
那么總應(yīng)變?chǔ)?Χ/r，其中并不包括u/r,。

樓主這個(gè)求的就不是總應(yīng)變,，你這個(gè)首先就嘉定了r是常量，而不是變量,，這只是切向位移引起的應(yīng)變,。就好像是a和d點(diǎn)沿著半徑為r 的圓弧移動(dòng)（切向位移），實(shí)際的運(yùn)動(dòng)還包含徑向位移（引起應(yīng)變u/r）,。樓主要有自變量和因變量思維,。r和θ都是自變量，u和v是因變量,。不要將u和搞混,，如果你學(xué)過流體力學(xué)就更有物理場(chǎng)景的理解,，所以原始坐標(biāo),，就是做標(biāo)記用的。流體中有些粒子就是自由遷移的,，固體中的粒子還好,，變形前后都是挨著在一起，移動(dòng)到某一個(gè)點(diǎn)就是變形前某一個(gè)粒子的初始點(diǎn),，這是重疊的,，不要搞混。關(guān)鍵是要變形前后,，兩個(gè)相同粒子之間的位移差,，而不是同一個(gè)粒子變形前后的位移差。樓主的r+u就是同一個(gè)粒子從r移動(dòng)了u,。我暫且認(rèn)為樓主是這樣搞混的

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-25 08:56
數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-25 09:00

云制造發(fā)表于 2016-5-25 08:56
) h- ^; F: Q ?5 C數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程

[attach]388058[/attach]

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-26 08:48

云制造發(fā)表于 2016-5-25 09:00

v(r,sita)是a點(diǎn)的環(huán)向位移,，r dsita 是ad段的原始弧長(zhǎng)，討論的不是相等,，二是兩者之間的差相等,，看來樓主還是沒有明白,。兩個(gè)點(diǎn)變形后的位移差,，就是等于兩個(gè)點(diǎn)變形后的長(zhǎng)度,，減去變形前的長(zhǎng)度，變形前dθ很小,，a,，d之間的環(huán)向距離就是rdθ，樓主應(yīng)該清楚推導(dǎo)過程的dr和dθ都是無窮小量,。甚至一些高階小量都會(huì)省去,，比如（r+dr）dθ，這個(gè)時(shí)候rdθ比drdθ高一階,，drdθ就可以忽略,。這些樓主應(yīng)該清楚，我也沒有特意強(qiáng)調(diào),。

我覺得我這個(gè)講的很清楚了,，包括前面的帖子也強(qiáng)調(diào)了。關(guān)鍵是兩個(gè)點(diǎn)變形前后的位移差,。單個(gè)點(diǎn)的v是沒有意義的,，二是兩個(gè)點(diǎn)v的差，而兩個(gè)點(diǎn)v的差,。v（r,，θ）是不等于rdθ，v（r+dr,，θ）也不等于（r+u）dθ，而是v（r+dr,，θ）和v（r,，θ）的差，是等于（r+u）dθ與rdθ的差,。推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)的過程也是強(qiáng)調(diào)這個(gè)時(shí)候θ是常量，旁邊也畫了個(gè)圖,，做說明

樓主自己再多思考思考,，腦子里要有物理場(chǎng)景，也要知道這個(gè)時(shí)候的dr和dθ都是非常小的,。這個(gè)本來就是基本的公式，我覺得我已經(jīng)講的比較清楚了,。書中是從僅徑向和僅環(huán)向兩者單獨(dú)推導(dǎo)再綜合的,，這個(gè)是為了簡(jiǎn)單明了,，而位移是可以分解的,，可以認(rèn)為變形是先徑向移動(dòng),，再環(huán)向移動(dòng)。跟路徑無關(guān),，但最終的變形是一樣的,。而將徑向位移和環(huán)向位移同時(shí)考慮進(jìn)來,，畫圖出來就不直白,。

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-26 14:10
關(guān)于我自己糾結(jié)的點(diǎn)，我已經(jīng)解決,，證明過程放出來了。首先感謝云俠和零俠的回帖,。特別感謝一下零俠,。

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-26 19:28

不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-26 14:103 S. s6 |, x$ {1 g* _$ {
關(guān)于我自己糾結(jié)的點(diǎn)，我已經(jīng)解決,，證明過程放出來了,。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠,。

這個(gè)是沒有問題的,，只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎，d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,，如果沒有環(huán)向位移,，旋轉(zhuǎn)a'到a''，那d'就會(huì)到d'',。所以繞了一圈,，還是跟原來的物理過程是一樣的。跟單獨(dú)考慮徑向位移和環(huán)向位移再綜合是一樣的,。

另外樓主要注意的是,，嚴(yán)格意義上其實(shí)d'和d''不是在半徑為(r+u)的同一個(gè)圓弧上，d''是距離這個(gè)圓弧有一個(gè)小的增量,，因?yàn)槭莇r和dθ都是無窮小量,，可以認(rèn)為d'和d''在同一個(gè)圓弧上。

這也是我那個(gè)數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)過程的分母直接是rdθ,，實(shí)際上嚴(yán)格意義上是點(diǎn)（r,，θ）和點(diǎn)（r+dr，θ+dθ）的距離,，是省去了高階小量,。

其實(shí)我那個(gè)就是純數(shù)學(xué)推導(dǎo),，只是在最后求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)用圖作了說明，（針對(duì)僅徑向位移）,。

另外我為什么強(qiáng)調(diào)單個(gè)點(diǎn)的位移意義不大,，是因?yàn)榇嬖趧傮w位移或者其他位移情況下，即使有位移,，也沒有變形,，（或者大位移,，小變形）,，所以我強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)變形前后位移差。（就像這個(gè)極坐標(biāo)下,，所有點(diǎn)繞著軸線旋轉(zhuǎn),，有位移，無應(yīng)變）,。

另外這些方程都是針對(duì)小變形，10的負(fù)幾次方的量級(jí),。對(duì)于大變形,，比如橡膠之類物質(zhì)，就不是這樣的方程,。

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-26 20:08

云制造發(fā)表于 2016-5-26 19:28
% i- n6 z2 p3 @/ g. @2 n7 D這個(gè)是沒有問題的,，只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎，d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,，如果沒有環(huán)向位移,，旋轉(zhuǎn)a'到a'' ...

我一直也說，理解這個(gè)借助物理模型和不借助都得一樣,，而我一直只想從應(yīng)變的最基本定義來推倒,，過程中我旋轉(zhuǎn)只是借助一種數(shù)學(xué)方式來計(jì)算這個(gè)。
大俠有一點(diǎn)錯(cuò)誤,，并不是（r,，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距離，而是和（r,，sita+d sita）,，dr和dsita是定義這個(gè)微單元的微小量。
四個(gè)點(diǎn),，變形前坐標(biāo)是（r,，sita），（r,，sita+dsita）,，（r+dr,，sita），（r+dr,，sita+dsita）
變形后（r+u,，sita+a），（r+u+X,，sita+a+b）,，（r+u+dr，sita+a）,，（r+u+dr+X,，sita+a+b），其中X是u對(duì)sita的偏導(dǎo)數(shù)乘以dsita,，a是點(diǎn)a轉(zhuǎn)過的角度,，b是變形后dsita的增加的角度，嚴(yán)格來說前后角度也是不一樣的,。而這也是建立在忽略ab邊的剪切角,，這個(gè)是因?yàn)関對(duì)r的偏導(dǎo)數(shù)乘以dr產(chǎn)生的，之所以忽略是因?yàn)檫@些都是高階微量,。其實(shí)同樣的,，滿復(fù)雜的我也已經(jīng)證明，只不過圖太亂,，不好看清,。

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-26 20:20
本帖最后由不懂的太多xx 于 2016-5-26 20:39 編輯

云制造發(fā)表于 2016-5-26 19:28% k8 L- ]7 `+ k$ [
這個(gè)是沒有問題的，只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎,，d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,，如果沒有環(huán)向位移，旋轉(zhuǎn)a'到a'' ...

大俠用v（r+dr,，sita+dsita）-v（r,，sita）表示ad線段的伸長(zhǎng)量有點(diǎn)突兀。從你的第一個(gè)公式來看,，你是想求應(yīng)變,，分母是rdsita，但是分子確實(shí)c點(diǎn)環(huán)向位移減去a點(diǎn)環(huán)向位移,，分子表示的還是ad線段的伸長(zhǎng)量,，兩個(gè)點(diǎn)還不在微單元的任何一個(gè)邊上，這個(gè)得需要證明,。
大俠v對(duì)sita的偏導(dǎo)數(shù)求解沒有任何問題,。
關(guān)于這個(gè)理解，我想問大俠一個(gè)問題,，對(duì)于在笛卡爾坐標(biāo)系下的長(zhǎng)方體微單元和極坐標(biāo)下的微單元,，關(guān)于應(yīng)變的算法和表示的意義,。在笛卡爾下，左右兩邊線段的伸長(zhǎng)都可以表示y向應(yīng)變,；在極坐標(biāo)下用ad線段應(yīng)變代表環(huán)向應(yīng)變,，有沒有想過用bc線段應(yīng)變代表環(huán)向應(yīng)變，兩者是否相同,，有沒有算過,？為什么書中用ad線段表示，而不用bc線段表示,？

作者: 云制造 時(shí)間: 2016-5-27 09:04

不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-26 20:08
8 m% D7 R/ l- T; P我一直也說,，理解這個(gè)借助物理模型和不借助都得一樣，而我一直只想從應(yīng)變的最基本定義來推倒,，過程中我旋 ...

不是 4個(gè)點(diǎn),，我推導(dǎo)過程就是在（r，θ）點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)就用（r+dr，θ+dθ）表示,，就像y=f（x）,，求它的導(dǎo)數(shù)就是x=x0附件取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的位置是x0+Δx,，增量是Δy,。所以我的那個(gè)式子表示，（r,，θ）和（r+dr,，θ+dθ）之間v的增量Δv，除以原始的兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度rdθ（忽略高階小量）,。

另外你問的,，ad和bc，其實(shí)就是偽命題,。你自己推導(dǎo)的過程切應(yīng)變用的ad線段,，而不是是取微元體，其實(shí)ad可以任意取,，ad也可以取在bc的位置,。另外要有這個(gè)概念，這個(gè)時(shí)候的ad和bc其實(shí)是非常近的,，只不過畫圖作為說明,，把距離劃的很大，好像兩處的應(yīng)變不一樣,。應(yīng)變是有連續(xù)性的,，不會(huì)在一點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)有突變,，bc是無限接近ad，（微元體到底有多微,？要有極限的場(chǎng)景理解）,，其實(shí)既然是取微元體，就可以認(rèn)為在微元體內(nèi)的量是常量（或者可以認(rèn)為取的微元體的平均量）,，如果還認(rèn)為比如長(zhǎng)方形微元體的正應(yīng)變沿著斜邊不是常量,，就沒必要。即使有細(xì)微的變化,，也是高階小量,。所以你說的ad和bc的區(qū)別就是偽命題。

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-27 11:21

云制造發(fā)表于 2016-5-27 09:041 g0 v; V' T# d, O, k* r6 |3 _
不是 4個(gè)點(diǎn),，我推導(dǎo)過程就是在（r,，θ）點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就用（r+dr,，θ+dθ）表示,，就像y=f（x） ...

首先，應(yīng)變都是針對(duì)單元體來的,，單元體的某個(gè)方向的應(yīng)變（比如y向）,，則是用線段的伸長(zhǎng)量除以原始長(zhǎng)度得來的，這是最初的應(yīng)變定義,。我一直說從應(yīng)變的基礎(chǔ)定義來證明計(jì)算,。就是先切的微元體，然后求的微元體的某條邊的伸長(zhǎng)量,。
彈性力學(xué),，計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變都會(huì)說取一個(gè)微單元，之后計(jì)算該微單元的某向線段兩點(diǎn)的位移,，計(jì)算應(yīng)變,。大俠取的（r+dr，θ+dθ）和（r,，θ）兩點(diǎn),，數(shù)學(xué)角度的基本定義咱沒必要說，大俠用的是全微分和斜率,。就說從力學(xué)角度,，這兩個(gè)點(diǎn)表示的是哪個(gè)微單元中的哪個(gè)線段？我的意思是這個(gè)要弄清楚,，先確定一個(gè)用來表示線段的數(shù)學(xué)模型,。ε=δ/L，這是力學(xué)中的計(jì)算應(yīng)變的最基本模型，大俠當(dāng)中的δ是哪一個(gè),？L是哪一個(gè),？從這個(gè)模型配對(duì)來類推，大俠的δ是v（r+dr,，θ+dθ）-v（r,，θ），L是rdθ,。
位移函數(shù)是原始坐標(biāo)的函數(shù),，v（r+dr，θ+dθ）是（r+dr,，θ+dθ）處的位移,，v（r，θ）是（r,，θ）處的位移,。若想用ε=δ/L這個(gè)模型，對(duì)a點(diǎn)取的這個(gè)微單元來說,，徑向應(yīng)變只能用ab線段,，切向應(yīng)變只能用ad線段。而大俠的v（r+dr,，θ+dθ）-v（r,，θ）表示的又是哪一個(gè)？
大俠用的全微分,，表示的是在a點(diǎn)切向位移v對(duì)r和θ的全微分（也就是v的增量），而只是針對(duì)v這個(gè)二元函數(shù),，該點(diǎn)的微增量,；這一步是單純從v函數(shù)來求解的。而后面除以的rdθ又是從極坐標(biāo)中的兩點(diǎn)計(jì)算來的,，先不管別的（這個(gè)別的我后面）,，順著你的思路，兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度是多少,？是(rdθ)2+(dr)2在開方,。這個(gè)存在質(zhì)疑。
現(xiàn)在說那個(gè)‘別的’,，證明應(yīng)該有兩種：1,、純數(shù)學(xué)證明，完全用v函數(shù)來證明,；2,、在極坐標(biāo)中，用線段的伸長(zhǎng)量來證明。大俠這個(gè)證明,，v的增量用的是v函數(shù)的全微分,，前面的思路是用函數(shù)來求該點(diǎn)的增量，后面又轉(zhuǎn)到兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度（極坐標(biāo)）下,，我覺得這樣不嚴(yán)謹(jǐn),。大俠既然想用函數(shù)證明，就應(yīng)該徹底的用該點(diǎn)的函數(shù)證明,，先增量,，后在一個(gè)三維坐標(biāo)系中描述出該點(diǎn)的位置，計(jì)算微段斜率,，利用斜率來計(jì)算應(yīng)變,。
再就是ab和bc的問題，微積分這門數(shù)學(xué)的基本思路,，相信大家都知道,，咱們暫時(shí)不討論這個(gè)。力學(xué)取微單元的基本假設(shè)：?jiǎn)卧獌?nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變都是均勻分布的,，這個(gè)相信大家也都知道,。就說在極坐標(biāo)中的微單元，不管多微小,，在計(jì)算過程中ad和bc就是不一樣,，因?yàn)樽宰兞渴?font face="Tahoma">θ角度。而兩個(gè)長(zhǎng)度不一樣,，在用兩個(gè)線段算應(yīng)變的時(shí)候就是不一樣,。
理論上應(yīng)變是連續(xù)的，從推出來的應(yīng)變公式表象上看,，取ab邊和取bc是不同的,，但最終求的是a這個(gè)質(zhì)點(diǎn)處的單元體的應(yīng)變，所以最終應(yīng)該是相同的,。我提這個(gè)問題,，只是想說應(yīng)該從線段伸長(zhǎng)量來證明（就是應(yīng)變的基礎(chǔ)定義）。

作者: 不懂的太多xx 時(shí)間: 2016-5-27 11:33

云制造發(fā)表于 2016-5-27 09:04
4 Y8 `& X& Q" F- ?不是 4個(gè)點(diǎn),，我推導(dǎo)過程就是在（r,，θ）點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就用（r+dr,，θ+dθ）表示,，就像y=f（x） ...

與大俠討論挺好，大俠還可以對(duì)兩個(gè)問題說說自己得看法,。
1,、力學(xué)中，單元體的每個(gè)對(duì)稱的正應(yīng)力和切應(yīng)力是相等的；在推倒靜力平衡方程時(shí),，具有相同法線的兩個(gè)面的正應(yīng)力和切應(yīng)力則不相等,。兩者都是取的某點(diǎn)處的微單元，大俠可否說說自己對(duì)這兩者的看法以及這兩者應(yīng)該用在什么地方,？
2,、大俠看下面截圖中，三角棱形體的體力可以忽略,，而長(zhǎng)方體的體力不可忽略,，這又是為何？
大俠發(fā)表一下自己的認(rèn)識(shí),。

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