GD&T系列 - 三坐標(biāo)測(cè)量的矢量誤差算法

幾何公差尺寸鏈

     三坐標(biāo)測(cè)量減少了人為的測(cè)量誤差,，但也限制了測(cè)量者的創(chuàng)造性,，如果了解三坐標(biāo)測(cè)量的原理,，可以在特殊情況下準(zhǔn)確設(shè)計(jì)測(cè)量方法,，快速分析測(cè)量問題。另外對(duì)于三坐標(biāo)測(cè)量原理的理解也可以加深GD&T的理解,，能夠合理圖紙?jiān)O(shè)計(jì),，在設(shè)計(jì)階段就能夠滿足測(cè)量的可行性,，降低了設(shè)計(jì)成本,，提高了設(shè)計(jì)能力。

三坐標(biāo)如何測(cè)量誤差,？

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圖1：為了便于解釋CMM測(cè)量的原理,，案例使用了2D圖顯示，3D空間是一樣的算法,。

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       圖中n代表數(shù)模的表面,，一個(gè)理論曲面；相對(duì)應(yīng)的是零件的實(shí)際加工表面a,；理論曲面a和實(shí)際加工表面a存在偏差,，這個(gè)偏差即是上下偏差+t和-t；測(cè)量的目的就是確定實(shí)際表面a和理論表面n之間的距離,，即零件的偏差,。

去確定這個(gè)偏差，還要定義兩個(gè)坐標(biāo)系,，一個(gè)是三坐標(biāo)的固有坐標(biāo)系MCS（OXY）,，另一個(gè)是零件的固有坐標(biāo)系PCS（OX1Y1），三坐標(biāo)的軟件都有補(bǔ)償這兩個(gè)坐標(biāo)系偏差的算法,。

圖2：測(cè)量細(xì)節(jié)

        測(cè)量時(shí)使用三坐標(biāo)的寶石球探針接觸選定測(cè)量的點(diǎn)Pn,，并且沿著Pn點(diǎn)表面的垂直矢量方向（面的垂直方向）接觸零件，那么探針將接觸到零件的實(shí)際表面a上的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)Pa,。因?yàn)樘结槍毷�球的中心亦沿著矢量v移動(dòng),，根據(jù)已知寶石球的半徑，理論點(diǎn)Pn和實(shí)際零件測(cè)量點(diǎn)Pa之間的距離就可以求出d,，也就是Pa點(diǎn)的偏差d可以通過這種簡(jiǎn)單方式求出,。因?yàn)閐是沿著矢量v的方向,，如果將d沿著PCS的X1和Y1軸分解，可以分別得到這個(gè)零件沿著零件坐標(biāo)系（由零件基準(zhǔn)建立）的偏差Δx和Δy,，并且可以看出曲面上的點(diǎn)的偏差是垂直表面的方向偏差,。

      因?yàn)槿�坐�?biāo)能夠自動(dòng)計(jì)算零件表面的矢量，這些過程三坐標(biāo)軟件內(nèi)部可以自動(dòng)完成,，測(cè)量報(bào)告會(huì)自動(dòng)計(jì)算出偏差d,分量Δx和Δy,。

      因此矢量就很重要，矢量（也稱為歐幾里得向量,、幾何向量,、向量）。向量其實(shí)就是帶箭頭的線段,，具有長(zhǎng)度和方向,，一個(gè)曲面的單位向量通常使用i，j,，k表示,。

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圖3：投影公差

       在實(shí)際測(cè)量中，探針不能保證實(shí)際接觸點(diǎn)Pa處于理論P(yáng)n點(diǎn)的向量v上,，實(shí)際接觸點(diǎn)有可能是Pa1和Pa2兩種情況,。這種情況下，三坐標(biāo)軟件的計(jì)算方法是將向量投影到向量v上,，使用到了向量投影的算法：

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      以上公式,，向量v由三坐標(biāo)軟件通過數(shù)模計(jì)算得出，被測(cè)點(diǎn)Pa的實(shí)際坐標(biāo)也可以由測(cè)頭給出,，而Pn是設(shè)定已知值,，所以可以得出最后的投影值|PnP2|，即我們想得到的此點(diǎn)的偏差,，可以知道θ2在材料外部時(shí),，θ2＜90°，cosθ2＞0,，結(jié)果為正公差,；當(dāng)Pa1在材料內(nèi)部時(shí)，θ1＞90°,，cosθ1＜0,，結(jié)果為負(fù)公差。這個(gè)算法也是輪廓度定義時(shí)材料內(nèi)部為負(fù),，材料外部為正公差的由來,。

      因?yàn)镻n是理論值，Pa是測(cè)量值，那么測(cè)量的精度可以看到主要來自于向量v的精度,。當(dāng)然還有其它很多的誤差影響,，比如Pa的測(cè)量也不準(zhǔn)確，三坐標(biāo)軟件通常需要補(bǔ)償測(cè)量的誤差,。

       對(duì)于v的值,，目前我們給的方法是使用數(shù)模，由于AI深度學(xué)習(xí)的應(yīng)用,，目前的測(cè)量技術(shù)發(fā)展很快,，三坐標(biāo)已經(jīng)可以通過分析已經(jīng)收集數(shù)據(jù)，在沒有數(shù)模的情況下,，較準(zhǔn)確的給出未知測(cè)量表面上的垂直矢量,，可接觸測(cè)量也實(shí)現(xiàn)了對(duì)于柔性零件的測(cè)量。

那么投影到Pn點(diǎn)的切線方向的誤差呢,？

圖4：切向方向的誤差

     因?yàn)榱慵�表面總是同理論表面有偏��,，另外設(shè)備即是知道矢量方向，也不可能準(zhǔn)確的沿矢量方向路徑移動(dòng),。所以必然會(huì)錯(cuò)過理論點(diǎn)Pn,，并且同時(shí)錯(cuò)過對(duì)應(yīng)的實(shí)際點(diǎn)Pa。當(dāng)測(cè)頭沿著預(yù)定的第一次路徑移動(dòng),，測(cè)頭中心同矢量v重合,，即得到測(cè)頭圓弧同矢量v的交點(diǎn),，即理論P(yáng)n點(diǎn),。但是此時(shí)仍然沒有接觸到零件表面，因此會(huì)繼續(xù)沿著第一次測(cè)量路徑運(yùn)動(dòng),，直到接觸零件表面Pa1點(diǎn),，明細(xì)這個(gè)接觸點(diǎn)不是我們期望Pn對(duì)應(yīng)的Pa點(diǎn)，我們不能簡(jiǎn)單的通過Pn-Pa的公式取計(jì)算零件偏差,。在測(cè)量過程中實(shí)際上也無法找到Pa,，我們只能盡量接近Pa，這時(shí)候Pn點(diǎn)的切向方向就可以用來修正這種誤差,，也就是矢量v的垂直方向部分,。剛才我們計(jì)算了接觸點(diǎn)的投影作為測(cè)量偏差，這個(gè)偏差能夠有說服力作為測(cè)量偏差之前,，測(cè)量設(shè)備還要評(píng)價(jià)實(shí)際測(cè)量點(diǎn)是否足夠接近測(cè)量點(diǎn)Pa, 就是實(shí)際測(cè)量點(diǎn)在此點(diǎn)的切向投影,，這個(gè)值設(shè)置為e1,那么e1應(yīng)該是多少？

       不同的三坐標(biāo)公司的標(biāo)準(zhǔn)不同,，通常這個(gè)值e = (﹢t-（-t））/2,。

       也就是當(dāng)e1<=e時(shí)，測(cè)量值符合要求；

        當(dāng)e1>e時(shí),，測(cè)量需要沿著路徑二繼續(xù)測(cè)量,，三坐標(biāo)經(jīng)過一次調(diào)整，重新得到接觸點(diǎn)Pa2,，迭代運(yùn)行,，直到e2<=e。此時(shí)的Pa2投影到v向量上的da2輸出作為合理的測(cè)量結(jié)果,。

       如果繼續(xù)探討,，da2測(cè)量值是在MCS坐標(biāo)系下的結(jié)果，MCS和PCS不可能絕對(duì)重合,，所以還需要在OXY和OX1Y1兩個(gè)坐標(biāo)系上進(jìn)行補(bǔ)償,，PCS通常是通過零件上的基準(zhǔn)建立，進(jìn)一步來說,，如果零件安裝在檢具上,，那么又引入了第三個(gè)檢具的坐標(biāo)系。所以三坐標(biāo)廠家的測(cè)量誤差補(bǔ)償?shù)牟呗跃秃苤匾�,，這也是不同廠家三坐標(biāo)會(huì)產(chǎn)生測(cè)量不對(duì)標(biāo)的情況,。

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遠(yuǎn)祥

這種是否可以簡(jiǎn)單一些,，用三坐標(biāo)打點(diǎn)檢測(cè)。