球面漸開(kāi)線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒(méi)有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導(dǎo)出上面的公式,你能給我們上傳點(diǎn)資料我們理解了,當(dāng)然我們就知道怎么用了,問(wèn)題是不知道如何推導(dǎo)出這個(gè)公式

阿松

請(qǐng)懷疑我公式的正確性！
+ }3 A# Q/ q+ F8 `& i$ s* G. t小男孩,，我在6樓已經(jīng)答復(fù)過(guò)你在5樓提出的同樣的問(wèn)題,。
) j* [' w" R# F* L3 v2 B1 O

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導(dǎo)的,要是能有一本書(shū)詳細(xì)介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
2 _) Z( F6 v$ Y. j2 S: o大圓就是球的最大直徑,，基圓是球上任一比大圓小的圓,。
+ l. }! i1 l: X' c0 g3 B請(qǐng)想一下兩圓相切：可以想象基圓水平，大圓傾斜并與基圓相切,。
然后基圓不動(dòng),，大圓滾動(dòng)。有點(diǎn)象呼啦圈掉到地上時(shí)的樣子,。
然后在某一個(gè)位子,，大圓上滾過(guò)的弧長(zhǎng)等于基圓上的弧長(zhǎng)。
然后構(gòu)建幾何圖形,。
然后進(jìn)行一步一步推導(dǎo),。

! Y  O5 E4 y* f! C7 J我就是這樣推出來(lái)的。相信你也能推出來(lái),，可能公式比我還要簡(jiǎn)化,。

logxing

我正在驗(yàn)證松版的公式
有一個(gè)疑問(wèn)
. Y4 o; V. Q0 H按照這個(gè)極坐標(biāo)系，當(dāng)R趨向無(wú)限大時(shí),，也就是普通漸開(kāi)線時(shí)
方程將會(huì)變成什么樣子,？好像不能自然退化成普通漸開(kāi)線的參數(shù)方程
$ t" ?. }- h: s5 Z松版有沒(méi)有其他坐標(biāo)系的結(jié)果？

阿松

當(dāng)R為無(wú)窮大是,，eta為pi/2,，
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
. f# }3 q! W$ D1 ntan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運(yùn)用羅比塔法則，分子和分母分別求導(dǎo),，得alpha=atan(theta)
omega得0,，delta=theta-atan(theta)，這是標(biāo)準(zhǔn)的平面漸開(kāi)線函數(shù),。

logxing

我主要是看見(jiàn)了你說(shuō)
極坐標(biāo)方程＝R,delta,omega
那么當(dāng)R趨向無(wú)窮大,，不論delta,omega變成什么
/ v& k2 D: y, g* N& K) e2 O$ n- C& I矢徑長(zhǎng)度都會(huì)變成無(wú)窮大，也就是不能變成普通漸開(kāi)線
6 F2 t6 y8 e( D. F你的極坐標(biāo)矢徑長(zhǎng)度是R,，說(shuō)明你的極坐標(biāo)原點(diǎn)是大圓圓心,，所以會(huì)出現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題
' v" C- F5 b! u3 h是不是我的理解有誤？
! a% F% C+ o3 J3 z+ t' |
. o" F# d5 v: L7 A' f; S我正在試著用矩陣推導(dǎo),，而且是直角坐標(biāo)系,，因?yàn)槲覍��?lái)要用程序來(lái)驗(yàn)證
' m" p" J; F7 ~! S% _直角坐標(biāo)系方便些，出來(lái)結(jié)果我會(huì)貼出來(lái)

阿松

直角坐標(biāo)方程如下：（還沒(méi)有化簡(jiǎn),，要變成平面漸開(kāi)線方程的話,，坐標(biāo)原點(diǎn)要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述,，我先定義三個(gè)點(diǎn)，在初始狀態(tài)小圓,，大圓和一條直線相切于一點(diǎn),，該點(diǎn)在小圓，大圓和直線上分別對(duì)應(yīng)A1,A2,A3三點(diǎn),，也就是說(shuō)初始狀態(tài)三點(diǎn)是重合的,。然后大圓開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，小圓上的A1是固定的,，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開(kāi)線,，至于A3，是起著重要的聯(lián)系作用,。
% a, ?7 s1 I4 M8 Z
在1樓中
eta=acos(r/R)
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
也就是
6 m3 p! E5 ^- r7 C, _alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
$ y8 p$ ^0 n1 t3 o) ~3 p8 r2 G即
# @- a8 _4 }3 L5 t  y3 A; Salpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
alpha是小圓平面內(nèi)A3點(diǎn)的壓力角,，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當(dāng)成那段切線段長(zhǎng)了（法線長(zhǎng)）才會(huì)有上面的式子,。
考慮這段切線段在大圓平面上的情形，你是把r/R*theta當(dāng)作大圓平面內(nèi)A3的壓力角了,，才會(huì)有上面的式子,。
9 }4 G$ v5 [- U! _1 U這里的theta是小圓平面上A3點(diǎn)的展開(kāi)角，所以r/R*theta實(shí)際上是大圓平面內(nèi)A3的展開(kāi)角而不是壓力角,，這個(gè)地方錯(cuò)了,。
不知道我對(duì)alpha，theta的定義理解是否有誤,。
8 u+ Z, |. Y: V$ q' r3 R1 U我已經(jīng)推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系的方程,，是以小圓平面為xy平面，小圓圓心為坐標(biāo)中心的右手系,。還沒(méi)有驗(yàn)證,，不過(guò)可以自然退化到平面漸開(kāi)線方程。因?yàn)榕c你18樓的形式差別比較大,，還沒(méi)有證明是不是等效的,。下面我打算做個(gè)程序驗(yàn)證一下，然后再拿上來(lái)大家討論,。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時(shí)間來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題,。謝謝
我不明白A1,A2,A3如何相對(duì)運(yùn)動(dòng)，初始位置3點(diǎn)重合,，然后是不是阿A3保持為切點(diǎn),？

) w  }. m: V) C5 L我來(lái)說(shuō)說(shuō)我的思路：theta是小園的展開(kāi)角，然后通過(guò)它算大圓的展開(kāi)角,。（我的資料沒(méi)在身邊）alpha 可能是大園的展開(kāi)角,。然后通過(guò)它們算矢徑與各平面的夾角。
7 A& c1 p4 }% x  j2 a+ B
5 ]) [; i  m- J' c- K/ y如果你能通過(guò)CAD軟件驗(yàn)證你的公式的話,，我們的公式應(yīng)該是相同的,。至少可以轉(zhuǎn)化成相同的。