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機械社區(qū)

標題: 關(guān)于極限和連續(xù)的兩個數(shù)學問題 [打印本頁]

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-20 18:50
標題: 關(guān)于極限和連續(xù)的兩個數(shù)學問題
今天一哥們聊天時說起，很有趣，大家也來試試：

1.青蛙跳井：
一個青蛙在井底,，想要跳出去,，假設永遠不會向下滑，它每次跳高的距離都是上一次的一半,，而且每跳一次都要休息一秒鐘,，那么青蛙能不能跳出井？

2.阿基琉斯追不上烏龜：
芝諾說,，如果阿基琉斯落在烏龜后面,，同時起動，那么會出現(xiàn)這樣的情況：假設初始時,，阿基琉斯在A點,，烏龜在B1點，經(jīng)過了t1的時間,，阿基琉斯到達了B1,，但同樣的，烏龜用t1的時間到達了B2,，而當阿基琉斯用t2的時間到達了B2時,，烏龜又用t2的時間到達了B3，而阿基琉斯到達B3時,，烏龜又到了B4,，如此往復，那么阿基琉斯就永遠追不上烏龜,。

對第一個問題,，所有的人都說“永遠跳不出去”，而對第二個問題,，則說“肯定追得上,，因為事實就是這樣”。

于是那哥們問,，為什么兩個類似的問題,，答案不一樣？數(shù)學依據(jù)是什么？

最后大家還是用數(shù)學模型把這個事了了,，不過過程實在很有趣,，社友們也來試試吧。

作者: 閑人一個OO 時間: 2011-4-20 20:09
第二個問題我上馬克思時老師拿來當例子講的,，這個問題邏輯上很難搞定的

作者: 高進 時間: 2011-4-20 20:37
這個問題我也想過,，為什么呢追不上呢？我想是由于這個時間永遠不能過度到下一秒,，越來越小

作者: 無能 時間: 2011-4-20 20:48
本帖最后由無能于 2011-4-20 21:47 編輯

回復長驅(qū)鬼魅的帖子

第一條敝人看錯了,，答案請見下面有大俠給出。
第二個問題本身就沒有描述清楚,。一般來說,，如果能把問題很清楚的描述出來，那么答案基本上就出來了,。
我認為,，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果換一種描述,，就不會出現(xiàn)悖論,，因為悖論首先就已經(jīng)確定是錯誤的了，只是因為描述上弄了手法才讓人看似正確,。
沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎問題,，佩服！

作者: jsj306 時間: 2011-4-20 21:05
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 編輯

第二種情況僅僅是計算上趨于無窮,，實際上阿克琉斯不會按芝諾的算法來跑,，一步兩步就跨出去了，芝諾的算法僅僅是對這一步兩步（或者這一步兩步所用的時間）做細分,，這就涉及到距離或時間是否無限可分的問題了

第一種情況就是按芝諾的算法來跑了,，他算一步，青蛙就跳一步,，按他這個算法永遠算不完,，那青蛙也就永遠跳不出去

作者: 螺旋線 時間: 2011-4-20 21:10
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？

作者: 無能 時間: 2011-4-20 21:24
回復 jsj306 的帖子

這是“潛無窮”論者與“實無窮”論者的爭論,。
潛無窮論者認為,，世界上沒有真正無窮的東西，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動作,，這個動作永遠在進行中,，永遠沒有終止。
但實無窮論者認為,，無窮是存在的,，存在著“一下子就完成”的無窮,，而非像前者那樣的永遠無法完成。

能體現(xiàn)這兩個無窮爭論的例子是：你從點0到點1,，無論如何你要經(jīng)過它們的中點,，就是0.5；而你要到達0.5,，也必須先到達它們的中點即0.25……如此進行下去,，由于這些中點是無窮的，所以你永遠無法從0點到達1點,。
實際這就是區(qū)間(0,1)的稠密性,，也就是敝貼曾經(jīng)提到過的，這個區(qū)間是連續(xù)統(tǒng)的精髓,。

你永遠無法從點0到達點1，是潛無窮論者的論點,，但是我們明明可以一步就從0到1,，所以實無窮是存在的，證畢,。
集合論是承認“實無窮”的存在的,。

根據(jù)我的研究發(fā)現(xiàn)，“實無窮”的論點直接就導致“不可知論”,。

作者: metalstorm 時間: 2011-4-20 21:35
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 編輯

問題一：青蛙是跳不出井的,，只能無限接近一個極限高度，這個極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數(shù)列的求和極限,。
[attach]210742[/attach]
問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜,，但永遠追不上，阿基琉斯的速度一直在變慢,。請教樓主這個數(shù)學模型是什么,？

作者: 無能 時間: 2011-4-20 22:29
回復 metalstorm 的帖子

[attach]210748[/attach]

第二題，我讀題發(fā)現(xiàn)龜兔是各跑各的,，并且并未說明B3一定在B4后面,。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點。

作者: 無能 時間: 2011-4-20 22:48
本帖最后由無能于 2011-4-20 22:50 編輯

回復螺旋線的帖子

看來以己昏昏,，還是不能使人昭昭啊,，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限，即 n->∞ 時 lim (1-1/10^n) = 1,。
0.9' 無限趨近于 1,，但它不等于 1。
歡迎繼續(xù)提出異議,。

作者: 螺旋線 時間: 2011-4-20 22:54
還是不要討論這種問題吧,。
數(shù)學這東西,，學不來，知道結(jié)果和懂是兩回事,。
作為工程師,，需要的就是知道。

作者: 未完不續(xù) 時間: 2011-4-20 23:49
本帖最后由未完不續(xù) 于 2011-4-20 23:50 編輯

第一個問題：要想蛙跳不出去,，前提條件是井要足夠深,，大于等于蛙單次跳躍高度的2倍。
第二個問題：以A點為原點

T1= B1/Va

T2= (B2-B1)/Va = Vg*T1/Va = Vg*B1/Va^2

T3= (B3-B2)/Va = Vg*T2/Va  = Vg^2*B1/Va^3

……….

Tn=(Bn-Bn-1)/ Va  =    Vg^(n-1)*B1/Va^n    =    B1 * ( Vg/Va)^n/ Vg

   當Vg/Va<1時,，( Vg/Va)^n→0, Tn→0,說明阿喀琉斯能追上烏龜,。

作者: 風追云 時間: 2011-4-21 09:04
這兩個問題是名副其實的“長驅(qū)鬼魅”問題。哈哈,。

作者: 掃街 時間: 2011-4-21 09:10
1除以0等于神馬

作者: andyany 時間: 2011-4-21 09:18
數(shù)學如果不和物理結(jié)合,，就是奇技淫巧。

作者: fmdd 時間: 2011-4-21 09:27
第一個：無限等比數(shù)列求和Sn=a1/(1-q)
a1=1/2 q=1/2 Sn=1
說明青蛙是能跳出井的,，只是在它有生之年沒法完成,，拋棄理論不說，從事實上來考慮,，青蛙的前腳已經(jīng)出了井口,，后腿雖然還在井里，它可以爬出去,，不用再花無窮多的時間繼續(xù)跳了

第二個：這個是哲學上的詭辯,，運動具有瞬時性，也具有連續(xù)性,，哲學老師說,，任何運動方面的詭辯，都是割裂了運動的兩個特征,。在這個題目里,，運動只表現(xiàn)出瞬時性，所有的分析點都是一個片段,。這個問題需要有比物理學和數(shù)學更高層次的哲學理論來解釋,，那些研究宇宙的本源、人生的意義的極端聰明的家伙,，才能給你揭示出這個問題背后的本質(zhì),。

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-21 09:52
本帖最后由長驅(qū)鬼魅于 2011-4-21 09:52 編輯

這兩個問題，必須計算“重心”,，即沒有實體的點,，不然，就會出現(xiàn)樓上說的,，前腿出井,，后腿留在井里的事情,。

可以先分別提出假設以建立數(shù)學模型：

1.青蛙第一次能跳到井的一半，而且1/2^n次跳的時候,，所耗費時間也是1/2^n秒,，那么當它跳到第n次的時候，與井口的距離差為1/2^n,。
2.阿基琉斯時速為1m/s,，烏龜為0.5m/s，兩者相隔1m,，所以第一次經(jīng)過1s,，距離差為1/2，第二次經(jīng)過1/2s,，距離差為1/4,，不斷往復，則第n次,，距離差為1/2^n,。

那么可以得出，兩個的距離數(shù)列是基本一樣的：即1,、1/2、1/4,、……,、1/2^n。

但是得到的結(jié)論卻是兩個答案,。

作者: kongping 時間: 2011-4-21 10:24
本帖最后由 kongping 于 2011-4-21 10:31 編輯

第一個問題：先決條件是要看井口的高度和青蛙第一次跳躍的高度,，青蛙有可能跳出或有可能跳不出。不能一概而論,。
第二個問題：先決條件是誰的速度快,，如果阿基琉斯的速度大于烏龜?shù)乃俣龋前⒒鹚挂欢〞飞蠟觚�,，只是時間問題,。如果速度小于或等于的話就不用說了。

作者: luyupei 時間: 2011-4-21 11:54
第一個問題是距離的極限,，所以跳不上去,。第二個問題是時刻的極限，過了那個時刻就超過了,。

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-21 17:47

長驅(qū)鬼魅發(fā)表于 2011-4-21 09:52
2 d- X9 b/ M# e1 M9 d0 n- n) M這兩個問題,，必須計算“重心”，即沒有實體的點,，不然,，就會出現(xiàn)樓上說的,，前腿出井，后腿留在井里的事情,。 ...

剛才打了一大段字,，想不到網(wǎng)絡出問題，一下變成未登錄狀態(tài),，辛苦白費了……555

其實距離數(shù)列已經(jīng)說明白了,，是完全一樣的，之所以答案不同,，是因為縮短距離而花費的時間的關(guān)系,。

1.青蛙第一次跳，花費時間1/2s,，由于中途會停歇1s,，所以第二次花費1+1/4s，第n次則為1+1/2^n s,，那么花費的時間數(shù)列為：

1/2,、1+1/4、……,、1+1/2^n,，n無窮大，則消耗時間的總數(shù)也是無窮大,，青蛙永遠也跳不出去,。

2.第一次縮短距離，花費時間1/2s,，第二次花費時間1/4s,，第n次花費時間1/2^n s，那么花費的時間數(shù)列為：

1/2,、1/4,、……、1/2^n,，n無窮大,，則消耗時間的總數(shù)是1s，根據(jù)前述假設,，在速度為1s/m,，相差距離為1m的情況下，在1s的花費時間終結(jié)之時,，阿基琉斯與烏龜就站在同一位置了,，而下一個t時間，無論有多么小,，由于速度上的優(yōu)勢,，他必然會超過烏龜,。

對比一下，就發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)列的差距就在“每次停歇1s”這個地方,，換句話說,，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永遠追不上烏龜,。

之所以想起來把這個問題發(fā)上來,，就是想說一下昨天討論的結(jié)果，那就是,，追趕別人是不能停的,，如果天朝每次追趕米國都要停歇，那么,，即使發(fā)展速度比人家快一倍,，也將永遠追不上。

作者: 春播 時間: 2011-4-22 09:25
那我在來補充一個問題：
“一尺之棰,，日取其半,，萬世不絕”？

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-22 10:58

春播發(fā)表于 2011-4-22 09:25
( X& U4 O' t' S9 F, K# X那我在來補充一個問題：( g5 k/ M. R1 b$ q8 x9 H' U
“一尺之棰,，日取其半,，萬世不絕”？

這是必然的,，因為日取其半的原因,，如果一直不停地取，取完的時間就是速度問題了,。

作者: oscar30000 時間: 2011-7-5 13:55
回復無能的帖子

數(shù)學本來就是人類總結(jié)出來的規(guī)律而已，既然是規(guī)律那必然有局限性,，就不能解決一切的問題,。

作者: oscar30000 時間: 2011-7-5 14:03
回復長驅(qū)鬼魅的帖子

2000年高考的時候我就是寫的這個故事，居然得了50分（總分60）,，哈哈哈,。

您所說的第一個問題是數(shù)學的局限之一，第二個問題,，交代的不詳細,，如果間距無窮大呢，那肯定追不上,，間距為有窮時,，那追上肯定不是問題（物理的角度），這也是數(shù)學的局限之一,。

事實上,，沒有人能夠制定一個完美無缺的規(guī)律,，如果我們在規(guī)律中找完美，那就是自找煩惱,。

作者: hisun_cth 時間: 2011-7-5 15:43
本帖最后由 hisun_cth 于 2011-7-5 15:48 編輯

回復 metalstorm 的帖子

你那個等比數(shù)列的和等于2,，只要第一跳大于等于井深的一半，就能跳出,！比如：井深4米,！第一跳3米，第二跳1.5米,！出來了,！

作者: 貓王001 時間: 2012-6-4 17:33
第一個問題是個截杖問題，在高數(shù)上好像有這個例子

作者: Pascal 時間: 2014-7-6 21:30
無意中發(fā)現(xiàn)這個帖子,。
談談第二個問題,。

芝諾在關(guān)鍵詞“追”上偷換了概念。
所謂追不上應該是指任意時刻t,，阿基里斯都在龜?shù)暮竺�,；而芝諾卻偷換為在無窮多時刻t，阿基里斯在龜?shù)暮竺�,。這正是問題的癥結(jié),。

作者: 伯爵的等6 時間: 2014-7-7 16:50
關(guān)于第一個問題，我有個想法,。假如兔子第一下就跳的距離就大于井高,，就沒有以后了嗎？

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