機(jī)器人避障問(wèn)題

三川

圖1是一個(gè)800×800的平面場(chǎng)景圖,，在原點(diǎn)O(0, 0)點(diǎn)處有一個(gè)機(jī)器人,，它只能在該平面場(chǎng)景范圍內(nèi)活動(dòng),。圖中有12個(gè)不同形狀的區(qū)域是機(jī)器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物,，障礙物的數(shù)學(xué)描述如下表：

編號(hào)	障礙物名稱	左下頂點(diǎn)坐標(biāo)	其它特性描述
1	正方形	(300, 400)	邊長(zhǎng)200
2	圓形		圓心坐標(biāo)(550, 450)，半徑70
3	平行四邊形	(360, 240)	底邊長(zhǎng)140，左上頂點(diǎn)坐標(biāo)(400, 330)
4	三角形	(280, 100)	上頂點(diǎn)坐標(biāo)(345, 210),，右下頂點(diǎn)坐標(biāo)(410, 100)
5	正方形	(80, 60)	邊長(zhǎng)150
6	三角形	(60, 300)	上頂點(diǎn)坐標(biāo)(150, 435),，右下頂點(diǎn)坐標(biāo)(235, 300)
7	長(zhǎng)方形	(0, 470)	長(zhǎng)220，寬60
8	平行四邊形	(150, 600)	底邊長(zhǎng)90,，左上頂點(diǎn)坐標(biāo)(180, 680)
9	長(zhǎng)方形	(370, 680)	長(zhǎng)60,，寬120
10	正方形	(540, 600)	邊長(zhǎng)130
11	正方形	(640, 520)	邊長(zhǎng)80
12	長(zhǎng)方形	(500, 140)	長(zhǎng)300，寬60

在圖1的平面場(chǎng)景中,，障礙物外指定一點(diǎn)為機(jī)器人要到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)（要求目標(biāo)點(diǎn)與障礙物的距離至少超過(guò)10個(gè)單位）,。規(guī)定機(jī)器人的行走路徑由直線段和圓弧組成，其中圓弧是機(jī)器人轉(zhuǎn)彎路徑,。機(jī)器人不能折線轉(zhuǎn)彎,，轉(zhuǎn)彎路徑由與直線路徑相切的一段圓弧組成，也可以由兩個(gè)或多個(gè)相切的圓弧路徑組成,，但每個(gè)圓弧的半徑最小為10個(gè)單位,。為了不與障礙物發(fā)生碰撞，同時(shí)要求機(jī)器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個(gè)單位,，否則將發(fā)生碰撞,，若碰撞發(fā)生，則機(jī)器人無(wú)法完成行走,。

機(jī)器人直線行走的最大速度為 個(gè)單位/秒,。機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時(shí)，最大轉(zhuǎn)彎速度為 ,，其中 是轉(zhuǎn)彎半徑,。如果超過(guò)該速度，機(jī)器人將發(fā)生側(cè)

翻,，無(wú)法完成行走,。

請(qǐng)建立機(jī)器人從區(qū)域中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)的避障最短路徑和最短時(shí)間路徑的數(shù)學(xué)模型。對(duì)場(chǎng)景圖中4個(gè)點(diǎn)O(0, 0),，A(300, 300),，B(100, 700)，C(700, 640),，具體計(jì)算：

(1) 機(jī)器人從O(0, 0)出發(fā),，O→A、O→B,、O→C和O→A→B→C→O的最短路徑,。

(2) 機(jī)器人從O (0, 0)出發(fā)，到達(dá)A的最短時(shí)間路徑,。

注：要給出路徑中每段直線段或圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),、圓弧的圓心坐標(biāo)以及機(jī)器人行走的總距離和總時(shí)間,。

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