如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子,，建議你別搞測度論

zerowing

看完通篇也是一項(xiàng)龐大的工程,。不過感覺整篇描述的“測度”是一個如何把連續(xù)和離散統(tǒng)一起來的方法。
里面的有些敘述很生動,，但是不太嚴(yán)謹(jǐn),。比如4.22的由來那段。俺只能理解連續(xù)封閉子集的和,，而如果這些子集不封閉,，那也不該有4.22，即便是在直線上截取的,。或者,，換句話說,，開子集不可測,。而線段一定不是開子集。好吧,，又成繞口令了,。
5 l0 c1 F+ w$ ^8 M搞數(shù)學(xué)的最后果然都是會瘋的

zerowing

說點(diǎn)疑惑。感覺這種測度論其實(shí)變相的避開了解釋如何從點(diǎn)到線的解釋,。所以,，我能理解哲學(xué)家對此的不滿。（笑）
比如我前面說的子集問題,。
8 n5 t4 q$ x* ~' E# E1 t* O" N6 R一條線段真的能分成若干可相加的子集嗎,？比如，［1,10]的線段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？那么這兩個子集是相交的，不是嗎,？因?yàn)槎即嬖?這個點(diǎn),。而如何寫成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是兩條線段,，因?yàn)楹竺孢@個子集缺少了一個端點(diǎn),。那么這種情況，貌似這種測度的定義就變得不那么完善了又,。
+ q! Y5 H, D. h: ^! u# Q& j# y* D所以,，從這方面講，我并不喜歡這種數(shù)學(xué)上的定義,。我可以理解任意一個高維度空間都可以表現(xiàn)低維度空間的特征,，比如三維中表現(xiàn)一維的線段長，表現(xiàn)二維的面積,；但你絕對不可能在一維中表現(xiàn)出體積和面積,。這不僅僅是尺度問題。我更傾向于低維度特征是用以表現(xiàn)高維度特征的參考位這種說法,。詳細(xì)的說,，低維度特征無論在哪都只表現(xiàn)其自身的特征，而高維度的特征只是借助低維度的特征作為一個參考位進(jìn)而表現(xiàn)高維度的特征,。
因此,，你可以在三維中，以表現(xiàn)面積特征的面作為參考位表現(xiàn)出兩個面參考位之間的度量特征,，這個特征就是體,。這跟面有沒有體積特征沒有任何關(guān)系，他只是一個位，如果表達(dá)成數(shù)學(xué),，就是[a,b],。面特征的參考位相當(dāng)于a,b位點(diǎn)，而體積特征描述的是a,b之間的所有集合加成,，無論是開集合還是閉集合,。它并不在乎你有多少個重復(fù)位，有多少個離散點(diǎn),，它只在乎a和b之間的相對位置,。

zerowing

換句話說，比如從點(diǎn)到線段,，線段游低維度的點(diǎn)組成,，但不是說線段上該有多少個點(diǎn)，線段特征表達(dá)只是在描述任意兩個以點(diǎn)為參考位的相對特征,。所以,，這之間有多少點(diǎn)，多少重復(fù)都無所謂,，無所謂點(diǎn)之間如何排列組合,，無所謂連續(xù)離散。因?yàn)樘卣鞅硎霾煌��?font class="jammer">! p& d! @, p" H% d% G
當(dāng)然,，這樣的說法有點(diǎn)類似所謂的尺度論,。

獨(dú)自莫憑欄

zero有點(diǎn)上癮了

阿難和松山

我了個去！,！

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 14:21
7 C$ t' D' U9 B! T說點(diǎn)疑惑,。感覺這種測度論其實(shí)變相的避開了解釋如何從點(diǎn)到線的解釋。所以,，我能理解哲學(xué)家對此的不滿,。（笑 ...

, M0 Q. `" O* o: N“比如，［1,10]的線段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？”

3 U- M" g' [' I3 s% j可以，可測集的線性可加性質(zhì)

' v5 J2 E- r- ~9 z. G! P6 }“而如何寫成[1,5]和(5,10]”
9 A% g# `& ~3 V8 d3 r
8 _+ C) h) T) _" ?4 c0 |( o7 z! T6 t一個閉集,，一個開集,，找本數(shù)學(xué)分析書來看，都有嚴(yán)格定義,，順便說句(5,，10]，[5,10]的勒貝格測度都是5,，去掉單點(diǎn)是不影響一個連續(xù)統(tǒng)的測度的

關(guān)于高維測度,，其實(shí)高維測度可視為一維勒貝格測度的笛卡爾積

  ?! J3 T: R2 N- L  ]- t" J“比如從點(diǎn)到線段,，線段游低維度的點(diǎn)組成”

這句話是錯的，點(diǎn)是可數(shù)集,，線段是連續(xù)統(tǒng),，有本質(zhì)的區(qū)別，不能將線段視為由點(diǎn)組成的,。可以這么說,，單個點(diǎn)構(gòu)成的集合,，測度一定是0，而線段,，你可以將他視為,，測度不為0的可測集的最小單位
/ |1 p) c% r" E1 h$ a

の小南灬

pacelife

很有收獲,，希望樓主多發(fā)類似的文章

1032220424

太能研究了，看暈了
, r+ p7 E; e$ M1 v6 g2 y

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
4 D! I/ j7 J' N. n“比如,，［1,10]的線段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？”

! ~! ~1 n( s+ j% y( Z  P* ]可以,，可測集的線性可加性質(zhì)

6 c7 c5 B0 z+ W" k4 X' I$ E+ m2 k2 S呵呵,，大俠，我希望你仔細(xì)看下這個問題,。這個問題不是探討是否可加,，而是探討所謂的定義。
9 c, X% X: u6 k( R你轉(zhuǎn)的文章里有這樣的一個性質(zhì)：
* {( r$ H% m) h1 v/ w" T- y

若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集,，它們并在一起得到的子集的測度,，剛好等于這些子集各自測度之和。

請注意這個彼此不相交子集的概念,。如果要求的是彼此不相交,，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段，不是嗎,？因?yàn)樽蛹�相交��,。這個不用再去看什么書去論證，因?yàn)槲覀冎皇窃谡f集合問題,。
同樣的,，當(dāng)我們說[5,10]去掉一個端點(diǎn)5，于是變成了(5,10],。那么,，無論他是否影響測度（其實(shí)俺不敢茍同不影響說,，因?yàn)橹粡臄?shù)學(xué)角度說沒問題，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了,，后面說）,，無論是否影響測度，都不代表說(5,10]可以表示一個線段,。換句話說,，（5，10] 和[5,10]的測度相同,，但不應(yīng)該是一樣的東西,。如果這么說沒問題，那么問題就來了,，按照這樣的測度定義,，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加，雖然在測度上相等,，但是組成新線段的各個部分并非都是線段,。沒錯，這樣說,，數(shù)學(xué)上沒有問題,，只是無論是哲學(xué)家還是工程師都要頭疼了。哈哈,。
. U0 b, U& h- t1 n- E于是,，再說說那個延伸到整體世界角度的問題。舉個例子,，大俠買了一量蘭博停在門口,。這是起始時間點(diǎn)，然后你開出去,，轉(zhuǎn)一圈又�,；氐胶驮�先完全相同的位置，這是終止時間點(diǎn),。這個過程相當(dāng)于這量車在四維空間中的一個變化,。那么問題就來了，如果我拿掉最后一個時間點(diǎn),，會發(fā)生什么,。其結(jié)果就是終態(tài)不可確定。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點(diǎn)的變化可能是任意的,，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個終態(tài)（1000米）,，也可能跳躍回初態(tài)（0米）。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現(xiàn)象,。將路徑折疊,，初點(diǎn)和終點(diǎn)重疊而去掉終點(diǎn),，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎,？而如果存在這個終點(diǎn),，也就是有一個必然的結(jié)果，那么就一定存在初,、終差異,，就不可能實(shí)現(xiàn)所謂的超時空穿行。我們不討論到底能不能超時空,，能不能折疊,，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點(diǎn)是完全不同的，而且其測度（或者應(yīng)該換一種叫法,，叫量度？）是不同的,。

再回到所謂的維度上,。
7 P9 ]- l; w$ d- v' Y8 `3 }我們先不討論說線段是不是由點(diǎn)組成，我們既不討論其連續(xù)性,，也不討論其測度,。我們換一種說法，如果存在一個線段,，那么我一定能在這個線段上找到點(diǎn),，無論能找到多少個，但我一定能找到,。因此說,，點(diǎn)和線段之間至少構(gòu)成一個必要條件關(guān)系，也就是說,，存在一個線段,，就一定存在線段上的點(diǎn)。至于是不是線段上的點(diǎn)的組合構(gòu)成了這個線段,，從測度上說不是,，我也不認(rèn)同它是。所以才要在那句“線段由低維度的點(diǎn)組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點(diǎn)”,。
* D# P9 Y! f8 K1 D另外,，大俠說到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別，也因此說線段不能說成由點(diǎn)組成,。那么存在這樣一個問題又,。（當(dāng)然，俺數(shù)學(xué)一般,，如果有錯,，大俠指出）因?yàn)楦呔S度可以解釋為低維度的笛卡爾積,，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合,。那么,，如果這兩個集合不是可數(shù)集，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集,，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數(shù)的時候也討論過這個問題,，兩個無限位的數(shù)能否四則運(yùn)算,。哈哈。那么這里的問題恐怕比那個還要復(fù)雜,。換句話說,，如果兩個連續(xù)統(tǒng)沒辦法求積，那么該如何表達(dá)高維度的特征呢,？當(dāng)然,，我們只是探討，不能論證這種觀點(diǎn)的正確性,。
另外,，也說一句，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積,，那么從0維到1維的過程該如何解釋,？畢竟點(diǎn)是沒有維度的。