如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子,，建議你別搞測度論

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
“比如,，［1,10]的線段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？”
& c* L7 N' }; H4 W) k' x
) R. y- ^) k3 N6 q' X8 A可以，可測集的線性可加性質(zhì)

呵呵,，大俠,，我希望你仔細看下這個問題。這個問題不是探討是否可加,，而是探討所謂的定義,。
( t: r) T6 S: s$ F4 d0 t3 y3 ^' E% j5 i你轉(zhuǎn)的文章里有這樣的一個性質(zhì)：

若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測度,，剛好等于這些子集各自測度之和,。

請注意這個彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交,，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段，不是嗎,？因為子集相交了,。這個不用再去看什么書去論證，因為我們只是在說集合問題,。
0 X: m' ]' x  L# @* h7 ?同樣的,，當(dāng)我們說[5,10]去掉一個端點5，于是變成了(5,10],。那么,，無論他是否影響測度（其實俺不敢茍同不影響說,，因為只從數(shù)學(xué)角度說沒問題，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了,，后面說）,，無論是否影響測度，都不代表說(5,10]可以表示一個線段,。換句話說,，（5，10] 和[5,10]的測度相同,，但不應(yīng)該是一樣的東西,。如果這么說沒問題，那么問題就來了,，按照這樣的測度定義,，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加，雖然在測度上相等,，但是組成新線段的各個部分并非都是線段,。沒錯，這樣說,，數(shù)學(xué)上沒有問題,，只是無論是哲學(xué)家還是工程師都要頭疼了。哈哈,。
% i; x# ]' n& [! {4 z于是,，再說說那個延伸到整體世界角度的問題。舉個例子,，大俠買了一量蘭博停在門口,。這是起始時間點，然后你開出去,，轉(zhuǎn)一圈又�,；氐胶驮�先完全相同的位置，這是終止時間點,。這個過程相當(dāng)于這量車在四維空間中的一個變化,。那么問題就來了，如果我拿掉最后一個時間點,，會發(fā)生什么,。其結(jié)果就是終態(tài)不可確定。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點的變化可能是任意的,，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個終態(tài)（1000米）,，也可能跳躍回初態(tài)（0米）。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現(xiàn)象。將路徑折疊,，初點和終點重疊而去掉終點,，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎,？而如果存在這個終點,，也就是有一個必然的結(jié)果，那么就一定存在初,、終差異,，就不可能實現(xiàn)所謂的超時空穿行。我們不討論到底能不能超時空,，能不能折疊,，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點是完全不同的，而且其測度（或者應(yīng)該換一種叫法,，叫量度,？）是不同的。

) N4 k' N" b5 L; n2 W* d+ ~再回到所謂的維度上,。
我們先不討論說線段是不是由點組成,，我們既不討論其連續(xù)性，也不討論其測度,。我們換一種說法,，如果存在一個線段，那么我一定能在這個線段上找到點,，無論能找到多少個,，但我一定能找到。因此說,，點和線段之間至少構(gòu)成一個必要條件關(guān)系,，也就是說，存在一個線段,，就一定存在線段上的點,。至于是不是線段上的點的組合構(gòu)成了這個線段，從測度上說不是,，我也不認(rèn)同它是,。所以才要在那句“線段由低維度的點組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點”。
另外,，大俠說到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別,，也因此說線段不能說成由點組成。那么存在這樣一個問題又,。（當(dāng)然，俺數(shù)學(xué)一般，如果有錯,，大俠指出）因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積,，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合,。那么,，如果這兩個集合不是可數(shù)集，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集,，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數(shù)的時候也討論過這個問題,，兩個無限位的數(shù)能否四則運算,。哈哈。那么這里的問題恐怕比那個還要復(fù)雜,。換句話說,，如果兩個連續(xù)統(tǒng)沒辦法求積，那么該如何表達高維度的特征呢,？當(dāng)然,，我們只是探討，不能論證這種觀點的正確性,。
另外,，也說一句，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積,，那么從0維到1維的過程該如何解釋,？畢竟點是沒有維度的。

房頂

文筆生動有趣,，但看得真心頭大

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 23:36
1 w% n/ _# b  t( `呵呵,，大俠，我希望你仔細看下這個問題,。這個問題不是探討是否可加,，而是探討所謂的定義。
你轉(zhuǎn)的文章里 ...

首先回答第一個問題,，可以在測度論的教科書上找到
. m4 {$ V: j5 h0 @1 m& D/ R8 G3 k5 C$ L
( a( y4 J+ n2 t  B" q數(shù)學(xué)上集合彼此不相交,，可以允許兩種情況，1是交集是空集,，2是交集是可數(shù)集,，測度為0，都屬于彼此不相交,；也就是說,，2個集合求交集后得到的集合,，只要測度為0，就是不相交,，哪怕這個交集是可數(shù)無窮集合
& F, A. u4 k' I" [
然后第二問題
' s8 I& C( J* G9 l6 a6 E
為了簡化敘述,，我假設(shè)自己開車，從0開到100,，也就是形成一個閉集[0,100],；現(xiàn)在你的想法是把100這個點挖掉，構(gòu)成一個開集[0,100),，因為最后100那個點不存在,，所以你認(rèn)為整個運動也不存在？,？其實可以這么說,，極限想必都學(xué)過，開集[0,100),，雖然在100那個點沒有定義了,，但是可以把他視作一個極限。
" o3 d8 G1 h1 R* z
我們來構(gòu)造一個函數(shù),，你就能想明白一個問題,，我們構(gòu)造函數(shù)f(x):，當(dāng)x=2時,，y不存在,，當(dāng)x不等于2之外的所有實數(shù)時，y=x,；現(xiàn)在我們來考慮,，當(dāng)x從0不斷趨近與2時，y=f(x)的最終趨勢,？,？，雖然x=2時,，y是不存在的,，但是你畫個圖就明白了，x不斷向2趨近時,，y是不斷向2趨近的,，這和y在x=2這個點上沒有定義沒有任何關(guān)系。那么我們回過頭來看,，在開集[0,100)上開車,，雖然100無法到達，但是可以無限趨近100,，其最終趨勢依然是100,，我開車總距離也終有一天可以到達100（雖然其花費時間為無窮,，因為100這點沒有定義，不可到達）,，這就是為什么,，一個閉集，挖掉端點上的單點,，形成一個開集后，不影響集合測度,。

最后是第三個問題
1 L+ I5 C& O) Y: U7 i1 v- r
1 T" O. w1 B6 J首先強調(diào)一點,，數(shù)學(xué)上沒有0維，所以沒有1維是0維通過笛卡爾積升級過來的說法

0 t' J9 ]6 l7 D" ]/ w/ B然后,，關(guān)于線段和點的關(guān)系,，務(wù)必要拋棄“線段是由點構(gòu)成”這個想法，線段和點是2個獨立的元素,，但是線段上可以找到無窮多個點,，除此之外，再無任何關(guān)系,，切記這個,。
2 U7 w, M& ^( d" u! s2 h
6 u: |  |; F2 E+ X% b“因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個集合的積,，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合,。那么，如果這兩個集合不是可數(shù)集,，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集，你該如何求積呢,？”

要回答這個問題,，首先給出測度的嚴(yán)格定義，看不懂沒關(guān)系,，我會用最通俗的語言來解釋
% v$ X* R+ p4 P/ D1 N, q6 Q# ]; y
設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù),，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數(shù)，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ,，有ρ(A)≧0;
（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0,；
（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2,，……,，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱ρ是定義在X上的一個測度,，Γ中的集合是可測集,，不在Γ中的集合是不可測集,。


" C) U+ G3 p* x" |  K: C所以呢，測度其實就是一個函數(shù),，自變量是一個集合,，因變量是一個實數(shù)，至于這個函數(shù)的運算法則,，不同的運算法則對應(yīng)著不同的測度,；用我們常識所形成的法則，得到線段（集合）的一個度量的實數(shù),，我們稱為勒貝格測度

我來詳細解釋,，如何從1維勒貝格測度來形成2維勒貝格測度
/ n) k: P1 K- {; a7 J! Y% X
定義集合A(0,1)，定義集合B(0,2),，（這里先取開集,，其實換成閉集是一樣的），也就是,，A是0到1的線段,，B是0到2的線段，記他們的勒貝格測度為L(A)=1,，L(B)=2
( k, u5 n$ l$ S* W: v好,，現(xiàn)在我們作集合A和B的笛卡爾積AxB={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}，有沒有發(fā)現(xiàn)什么,？,？這是長方形的4個端點坐標(biāo)，長為1,，寬度為2
7 r4 k5 I6 F3 b* A然后,，關(guān)于勒貝格測度，有一個定理,，證明略麻煩,，想詳細了解的話，請自行翻書吧,，這里就不加證明的給出了：
L(AxB)=L(A)L(B)=1*2=2,，這恰恰是通過AB兩個集合作笛卡爾積獲得的長方形的面積，所以,，2維測度是面積,，是通過1維測度升級而來的，依次可推算3維甚至抽象的更高維,，都可以求得相應(yīng)測度

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-9 10:25
' F- f! x" A! |! u. |9 w首先回答第一個問題,，可以在測度論的教科書上找到
* ]. R# d% _6 O  t1 f8 K
數(shù)學(xué)上集合彼此不相交，可以允許兩種情況,，1是交集是 ...

' a1 L- F8 o7 Q7 N& }  V1,。呵呵,，大俠數(shù)學(xué)玩得挺好。如果測度的相交定義不同于一般集合的相交定義,，那么俺就可以接受和理解這個定義,。同樣的，第二個問題也可能不是問題,。
$ [1 H2 f; m5 \( N3 ?2,。說說第三個問題。首先來說,，數(shù)學(xué)和物理學(xué)中,，是存在0維的。而0維對應(yīng)的是點,。這個不是俺亂說的。
在 "Curious About Astronomy". 一文中提到了數(shù)學(xué)上的一個定義,，如下：
4 p7 a7 J5 |" Q4 m3 X"The dimension of a manifold is the minimum integer number of co-ordinates necessary to identify each point in that manifold."
翻譯過來就是：一個描述體的緯度就是用以描述該體的最小坐標(biāo)數(shù)的整數(shù)值,。
: a/ n* F% @' s因此來說，描述一個點,，我們需要的最小坐標(biāo)數(shù)為0,，所以，點是0維的,。
6 b+ j' ?: t, N1 k, o' g& @當(dāng)然,，這也可以解釋為什么點的測度為0。（笑）
8 _4 I! l% g# r5 `; t關(guān)于線段和點的關(guān)系,，俺認(rèn)為俺已經(jīng)解釋的很清楚了,，也并不與大俠存在分歧。所以,，如果你一定要強調(diào)的話,，俺有些不解。哈哈,。
至于說到笛卡爾積的問題,。我想大俠應(yīng)該是誤解我的問題了。
/ f/ o% Y5 E" j  u1 O我在描述的時候,，描述的是笛卡爾積的本質(zhì)問題,，也就是兩個集合求積，實際上就是求兩個集合中各元素的積,，將得到的所有結(jié)果形成一個新的集合,。這個描述是沒有問題的。而這個描述并不否定你可以按照邊界法計算,�,；蛘邠Q句話說,，對于任意一個可知的確切元素，你都可以求積,。你也可以通過邊界求積法得到一個新的范圍,。這都不是我要問的問題。我的問題是你如何確定這個計算可運算性,。當(dāng)然,，這也涉及到我很P大爭論范疇，無限小數(shù)的四則運算性,。呵呵,，至今無果。比如說,，兩個集合A,B,。A=[a,b]，B=[c,d],。而a,b,c,d均為無限不循環(huán)小數(shù),，且不能用類似pi,e，等形式表示,，那么你該如何計算這樣的兩個集合的積,。這就是問題。當(dāng)然,，我不確定這樣的無限小數(shù)是否存在,，比如這樣的一個小數(shù),0.1121112111121111112......
至少來說，通過跟P大的討論,，對于有理數(shù)范疇的無限小數(shù),，無論是可直接四則也好，還是間接四則也好,，其可運算,。但對于無理數(shù)范疇，就撲朔迷離了,。那么,，對于這樣的情況，其笛卡爾積是什么,？
于是,，再回到那個維度的問題上。
前面我已經(jīng)給出了關(guān)于維度數(shù)的定義,，說明了點是0維的,。那么從點到線或者說從0維到1維的積又是什么？或者說，如何從0到1,？或者說,，如果不存在從0到1， 那么離散論又該如何解釋,？最接近的一個例子就是粒子的散射范圍問題,。每一次經(jīng)過原子核的粒子都會形成一個隨機的新路徑打到接收面上，換句話說,，不存在連續(xù)性,，但最終形成的是一個面。再有的例子就是概率,。比如一個正態(tài)函數(shù),，其描述的也是一個離散的成型例子。

crazypeanut

打錯,，占樓編輯掉

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-9 13:58
1,。呵呵，大俠數(shù)學(xué)玩得挺好,。如果測度的相交定義不同于一般集合的相交定義,，那么俺就可以接受和理解這個定 ...

" D* g) E6 v. T; o* b* |( |

0維，數(shù)學(xué)上是很麻煩的東西啦,，在集合論上對應(yīng)的是空集，而空集和空集自身求笛卡爾積,，數(shù)學(xué)上是沒意義的,，所以一般都是避開討論0維。（逃避主義,，笑） % C$ u8 o0 g. X2 z7 d - X& [7 T5 q8 t7 U3 G其實數(shù)學(xué)上有很多逃避主義（繼續(xù)笑,，真的很多），比如有個概念叫做幾乎處處(almost everywhere),，他是說,，若一個命題被稱為幾乎處處成立的，如果把這個命題不能成立的點全部抽出來,，構(gòu)成一個集合,，而這個集合的測度是0。這個概念的想法是,，測度為0的集合對一個命題整體沒有任何貢獻,，所以我們可以把那些不能成立的點逐個挖出來去掉不考慮。（鴕鳥政策,，當(dāng)初我學(xué)到這個概念時候笑了老半天）   z/ G$ o* O! b  u4 V4 \9 W% w) g 舉個例子吧,，黎曼積分（我們大學(xué)里學(xué)的最普通的定積分，就是黎曼積分），一個函數(shù)是黎曼積分可積的,，則其充要條件為該函數(shù)在其定義域上是幾乎處處連續(xù)的,。再舉個例子，級數(shù)有種收斂形式叫做幾乎處處收斂,，相比你知道這是怎么回事了,。（幾乎處處這個概念真的很好笑） 4 n. t$ y& f7 p# l% @( y" T 接著來談?wù)劦芽�爾積的可計算性 - E8 I1 ?& V2 M  @/ ?1 J+ \ - U- {' @. W0 U: n/ j: i先說可數(shù)集，可數(shù)集的元素可以一個一個抽出來逐個排列,，2個可數(shù)集求笛卡爾積容易理解,，很直觀，就不多說了 ' n8 d# t5 B2 v- R8 U7 A! t關(guān)鍵在于,，2個不可數(shù)集,，就是連續(xù)統(tǒng)，求笛卡爾積,，老實說,，這個運算，在數(shù)學(xué)上是有爭議的,。 之前說過,，不可將連續(xù)統(tǒng)視為由單點構(gòu)成，但是笛卡爾積,，卻要求逐個點抽出構(gòu)成有序?qū)�,，這不是矛盾嘛？,？解決辦法就是,，選擇公理，而選擇公理,，在數(shù)學(xué)上存在爭議,。于是乎，數(shù)學(xué)就是這么個麻煩的東西,，最簡單的笛卡爾積運算,，都有爭議，所以,，不是狂熱者,，別取深究了。 關(guān)于無窮小數(shù)的問題,，其實是這么回事,，首先可以嚴(yán)格證明，無理數(shù)的存在性,；其次,，數(shù)學(xué)上有很多這樣的情況，一個東西存在，卻沒有有效的表示手段,，比如大量的特殊函數(shù),，都無法用我們熟知的式子寫出其表達式，只能規(guī)定一個符號,，告知這個符號就是這個函數(shù),；無理數(shù)是同樣情況，因為無理數(shù),，要將其完完全全的表達出來,，不存在這樣的東西，所以,，只能用小數(shù)去逼近,，所以，無理數(shù)求積運算,，我們也只能用小數(shù)來近似表示,。 最后要糾正你兩個錯誤 & h, D" S  o1 u+ G% Q+ }0 J1是粒子散射問題，忽略粒子波粒二象性的話,，最后得到的點集,，他是有理數(shù)集，而有理數(shù)集是可數(shù)集,，測度為0,，其對整個平面的貢獻可以忽略，不可將其視為一個平面,。雖說你直觀上認(rèn)為點集布滿了平面,，但是從數(shù)學(xué)上講，其實平面上有很多縫隙,，這些縫隙構(gòu)成了無理數(shù)集,，而無理數(shù)集是不可數(shù)集,，其集合中的點的“數(shù)目”要比有理數(shù)集的點多的多,。 2就是正態(tài)分布，他是連續(xù)型隨機分布,，其樣本空間是定義在一個不可數(shù)集,，也就是連續(xù)統(tǒng)上的，數(shù)學(xué)上不研究其離散性質(zhì),，因?qū)�連續(xù)統(tǒng)來說單點測度為0,，故對于連續(xù)型隨機分布，取單點的概率永遠為0,，沒有研究的價值,。

zerowing

呵呵，感謝大俠如此大量文字的回復(fù)。
其實說道逃避主義或者鴕鳥主義,，只要是以數(shù)學(xué)為基出的學(xué)科都存在這樣的問題,。理論物理學(xué)中也遍地都是。對不能滿足其歸納的,，就干脆排出掉,。也算是一種果斷的手法吧。相比之下,，哲學(xué)和試驗物理學(xué)就是反面,。所以，歐洲的那幫子瘋子們才撞出了一大堆亞粒子,，裝出一個質(zhì)量場論出來,。
* J) F6 k8 p! I+ X- I/ D& P% V數(shù)學(xué)上的爭議，說實話有時看著就像小孩吵架,，窮折騰,。但是吵吧，當(dāng)樂子了解好了,。真去叫真,，就真的什么都干不了了。
2 I# r# n4 N& N" A1 z& L關(guān)于粒子散射問題,，只用這種空隙論怕是不能解釋,。換句話說，數(shù)學(xué)上可以說我去掉端點點,，測度不變,。換句話說邊界點是有限可數(shù)的。（其實這里很想問,，一個正方形的邊界是連續(xù)統(tǒng)笛卡爾積得到的,，道理上說，如果低維的端點如果可以做為了0測度拿掉,，那么最后得到的高維的正方形邊沿究竟是一個連續(xù)統(tǒng)還是可數(shù)集,？如果說是可數(shù)集，但畢竟事實上他也是線段,，這不就又矛盾了,？如果是連續(xù)統(tǒng)，那么(1,2)*(2,，3)得到的應(yīng)該是(2,6)還是[2,6],？）我們先不說這個，還是先說粒子散射,。如果我們認(rèn)為粒子散射的邊界是一個可數(shù)集,，那么所有解釋都可以說得通,，因為邊界以內(nèi)和邊界以外不連續(xù)，或者說不相交,。但如果邊界是不可數(shù)集,，那就代表著粒子不能完全覆蓋邊界，間隙同外側(cè)相連,，就成了相交或連續(xù),。換句話說，邊界就模糊了,。,。。,。,。
" X4 b0 w0 _6 q1 r8 }! p我得說，我頭大了,。

zdd5254

樓主見解獨特
0 C- k5 V/ I, B5 t; M2 ~  W$ o

Pascal

crazypeanut大俠,，首先謝謝你專業(yè)的講解。
我的問題---為什么不能認(rèn)為線段是由點構(gòu)成的呢,？這樣認(rèn)為有什么不好么,？
比如說拿一把刀去砍一個線段，姑且把這把刀叫做戴德金刀,，刀每次都會砍中一點,，也只能砍中一點。所以我認(rèn)為線段是由點構(gòu)成的,。
% h7 t# ^2 x, U# G* E: X& ]) V你看看哪里不對,？
7 r. |$ g2 A* ~6 K5 {

crazypeanut

Pascal 發(fā)表于 2014-7-10 21:50
crazypeanut大俠，首先謝謝你專業(yè)的講解,。
我的問題---為什么不能認(rèn)為線段是由點構(gòu)成的呢,？這樣認(rèn)為有什么 ...

6 u4 `/ B# k! b& ]. u6 Y這樣會形成靜矢不動的悖論，將點和線段嚴(yán)格區(qū)分開來是數(shù)學(xué)上回避悖論的一種有效手段
+ H7 m, J1 ~9 T9 V