在紙上畫三角形,，無論是怎樣畫,，把三角形里面的3個(gè)角加起來,，都會等于 180度 即使是畫100個(gè),、1000個(gè),，也絕對不會有一個(gè)例外,。有誰不信,，不妨動手畫上1萬個(gè)，再用量角器去量一量,�,！ ∧敲矗懿荒苷业揭环N三角形,，它的內(nèi)角和不等于180度 呢,？
4 p9 t( _1 s- F; \3 J% w5 Z 在200年前，如果有誰提出了這樣一個(gè)問題,，準(zhǔn)會有人對他嗤之以鼻："哼,，這也用問，三角形的內(nèi)角和等于180度,，這是幾何書中的一個(gè)定理,！"
) G. U% r" W5 ?5 U- B3 m+ I7 L 定理就是經(jīng)過邏輯推理證明是正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果有誰不信"邪",，仍要問一聲："這個(gè)定理就一定那么可靠嗎,？"那么，人們就會搬來經(jīng)典著作《幾何原本》,，翻開頭幾頁,，指著"第5公設(shè)"對他說："瞧，這個(gè)定理的正確性可以由它來保證,。" + ~* R5 ]6 {6 C% P, `
公設(shè)也就是公理,，是一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，它們的正確性經(jīng)過了實(shí)踐的反復(fù)證明,，是不證自明的,。不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個(gè)公理的基礎(chǔ)上,。有誰敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個(gè)定理,，也就等于是懷疑第5公設(shè)有問題。如果連公理也有問題,，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎,？: G: B r! T8 y8 J; y) r: c: H
第5公設(shè)也就是"平行公理",，它的意思是："在平面內(nèi)，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn),，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行,。"試試看，過直線外的一個(gè)點(diǎn),，你能作出第2條平行線來嗎,？
$ B# t+ t" K$ y) u7 j" T 既然有第5公設(shè)作保證，三角形的內(nèi)角和看來也就只好都等于180度 了,。
: v, g0 } Q: o: b z 不過,，數(shù)學(xué)家們對這個(gè)"第5公設(shè)"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯(cuò)誤,，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然,，很像是一個(gè)定理，于是試圖用其他的9個(gè)公理把它證明出來,，進(jìn)而將它從公理的行列中趕出去,。
- N: j& p8 Q" i1 I6 J 《幾何原本》問世后的2000多年里，數(shù)學(xué)家傾注了無窮無盡的智慧,，始終也未能證明出第5公設(shè),。雖然有不少人曾宣稱解決了這個(gè)問題，但一檢查就發(fā)現(xiàn),，他們不是證明過程有錯(cuò)誤,，就是用一個(gè)更不明顯的公理代替了第5公設(shè)。無可奈何之下,，大數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾稱它是"幾何學(xué)中的家丑",。( m, z7 f8 v2 B) l$ x. k/ ]
19世紀(jì)初，有個(gè)叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年,，決定獻(xiàn)身于第5公設(shè)的研究,。他父親是個(gè)數(shù)學(xué)家，聽到這個(gè)消息給嚇壞了,。盡管父子倆天天生活在一起,，老波里亞為了鄭重其事,，竟用筆給兒子寫了一封勸告信。
: V, x. |5 r& W6 A 波里亞深知父親的苦惱和失望,，但他沒有知難而退,，義無反顧地闖進(jìn)了這個(gè)"毫無希望的黑夜"。他很快就發(fā)現(xiàn),，只要改變第5公設(shè),，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學(xué)來，于是提出了一個(gè)新的平行公理：
9 a3 L8 z0 q7 {+ n% t C& W, T "在平面內(nèi),，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn),，至少可以作兩條直線與已知直線相平行。& y7 t$ `5 S" ?
這個(gè)新公理否定了平行線的唯一性,。以它為基礎(chǔ),，再加上原來的9個(gè)公理，就組成了一門新的幾何學(xué),，叫雙曲幾何學(xué),。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理，在雙曲幾何學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非,，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論,。例如，在雙曲幾何學(xué)中,，不存在矩形,，也不存在相似三角形。最有趣的是,，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和,，而它們又都比180度 小,！3 l _( ~: ]9 P4 J( C" P' @
能夠作出一種三角形,，使它的內(nèi)角和小于180度？對于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說,，這不啻是個(gè)"荒誕無稽"的海外奇談,。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請求,，直到1832年,，由于兒子的再三請求，老波里亞才勉強(qiáng)同意將它作為一個(gè)附錄,，隨同自己的著作一起出版,。$ V4 i. t" Y- O& R
老波里亞與"數(shù)學(xué)王子"高斯是大學(xué)時(shí)代的同窗好友，他把"附錄"的清樣寄給高斯,，想聽聽這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見,。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才",，但同時(shí)又說,，他不便公開贊許，因?yàn)榉Q贊波里亞就等于稱贊他自己,。3 H) m4 j6 m7 F4 ^6 |, F
原來,，在此之前16年,，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn)。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究,，唯恐這種新幾何學(xué)在直觀上的"荒誕無稽"而遭到人恥笑,。! g* g& r$ m; E
捍衛(wèi)真理是需要勇氣的。2 [1 B! a6 Z, I7 |& @2 o: [
早在波里亞著作發(fā)表之前6年,，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上,，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士，率先亮出了這門新幾何學(xué)的旗幟,。5 n4 f2 X: p% B8 p# m9 E
羅巴切夫斯基是一個(gè)偉大的俄國數(shù)學(xué)家,。他獨(dú)立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn)，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生,。當(dāng)時(shí),，數(shù)學(xué)家們不理解他，認(rèn)為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個(gè)"笑話",，有人嘲笑他是"對有學(xué)問的數(shù)學(xué)家的諷刺",。而一些仇視革命思想的人，更是趁機(jī)對他進(jìn)行惡毒的攻擊和下流的謾罵,。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻,，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作，甚至當(dāng)他已成為一個(gè)瞎眼老人時(shí),，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學(xué)》,，為這門新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國里取得合理的地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生,，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué),。0 B% x1 b% J0 |
羅巴切夫斯基、波里亞和高斯,，用他們創(chuàng)造性的工作,，動搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀念，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路,。1854年,，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)"不可思議"時(shí)，高斯的學(xué)生黎曼,，又給幾何王國增添了一種新的幾何學(xué),。
2 ?+ c1 {: H7 ` 黎曼提出了另一種新的平行公理：
7 V( V% X+ {0 }( R3 C+ G) E "在平面上，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn),，不能作直線與已知直線相平行,。"
- }% W7 c6 |, s8 s2 ~ 這個(gè)新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎(chǔ),，再加上原來的9個(gè)公理,，就組成了橢圓幾何學(xué)，也叫黎曼幾何學(xué),。1 {" r1 |" a: ?9 H9 Q6 _1 V
在這種新的幾何學(xué)里,，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢？有趣得很,，它既不等于180度 ,，也不小于180度，而是大于180度 ,。 e! m s# n0 c0 M7 g! g3 h Y
黎曼幾何學(xué)中還有許多奇妙的結(jié)論,，例如，"直線的長是有限的,，但卻無止境,。"要弄懂這些理論非常困難。據(jù)說,，當(dāng)黎曼第一次宣讀這方面的論文時(shí),，除了高斯以外，會場上竟找不出第二個(gè)能夠聽懂的人,。
0 {2 v6 z9 i& Z 羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)都是"純粹人造的"幾何學(xué),，與人們的常識相悖，乍看起來都顯得非常不可思議,。實(shí)際上,，它們比傳統(tǒng)的幾何學(xué)更加深刻地反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式。舉一個(gè)最著名的例子：愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對論,，就是以黎曼幾何學(xué)的空間概念為基礎(chǔ)的,！根據(jù)相對論學(xué)說，現(xiàn)實(shí)空間會發(fā)生彎曲,，到處是新幾何學(xué)的用武之地,。
! ~. s- I0 \& w0 C7 q/ J2 P+ H2 E 相傳高斯做過一次有趣的實(shí)驗(yàn)，他把相距很遠(yuǎn)的3座山峰,，看作是三角形的3個(gè)頂點(diǎn),，然后計(jì)算它的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 ,。這正是黎曼幾何學(xué)的結(jié)論,。也許有人會說："這不是一個(gè)三角形。因?yàn)樗辉谝粋�(gè)平面上,，而是在地球這個(gè)曲面上,！"那么，哪里去找平面呢,？運(yùn)動場是平面嗎,？池塘水面是平面嗎,？它們都是地球這個(gè)曲面的一部分。這樣,，又上哪里去找平面上的三角形呢,？如果沒有三角形，怎么會有內(nèi)角和等于180度呢,？
`3 m9 u5 H* a 羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實(shí)空間,，但是，在我們的日常生活里,，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了,。在我們的視野范圍內(nèi)，水平面是非常接近于平面的,。實(shí)際上,，我們也根本無法測出它的彎曲度。這樣,，測量水面上一個(gè)三角形的內(nèi)角和,，雖然它實(shí)際上并不等于180度,，我們卻無法測出它與真值之間的誤差,。所以,，在我們身邊這個(gè)不大不小的空間里，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的,。8 l2 h% w6 {3 N
因此,，在紙上畫三角形，無論是怎樣畫,，把它的3個(gè)內(nèi)角加起來,，都會等于180度 。但我們也應(yīng)當(dāng)知道,，在數(shù)學(xué)王國里,，確實(shí)還有一些"稀奇古怪"的三角形，它的內(nèi)角和是不等于180度 的,。 j$ h& z n0 x) C) a5 \
|
發(fā)表于 2012-3-16 20:00:04
QQ好友和群
收藏
淘帖
問題專業(yè),，描述清楚
伸手黨/灌水/看不懂
