在紙上畫三角形,，無論是怎樣畫,，把三角形里面的3個角加起來，都會等于 180度 即使是畫100個,、1000個,，也絕對不會有一個例外。有誰不信,，不妨動手畫上1萬個,，再用量角器去量一量�,！ ∧敲矗懿荒苷业揭环N三角形,，它的內(nèi)角和不等于180度 呢,？& m2 H" e! m3 t
在200年前，如果有誰提出了這樣一個問題,，準會有人對他嗤之以鼻："哼,，這也用問，三角形的內(nèi)角和等于180度,，這是幾何書中的一個定理,！"
! }/ t: Z* o5 s7 N D: L# @7 M 定理就是經(jīng)過邏輯推理證明是正確的數(shù)學結(jié)論。如果有誰不信"邪",，仍要問一聲："這個定理就一定那么可靠嗎,？"那么，人們就會搬來經(jīng)典著作《幾何原本》,，翻開頭幾頁,，指著"第5公設"對他說："瞧，這個定理的正確性可以由它來保證,。" / |- m% n% K q' B8 f1 l) q
公設也就是公理,，是一些最基本的數(shù)學結(jié)論,，它們的正確性經(jīng)過了實踐的反復證明，是不證自明的,。不朽名著《幾何原本》中的全部定理,，都建立在10個公理的基礎上。有誰敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個定理,，也就等于是懷疑第5公設有問題,。如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎,？: _ Y- y# |+ B( a {8 [: P
第5公設也就是"平行公理",，它的意思是："在平面內(nèi)，過已知直線外的一個點,，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行,。"試試看，過直線外的一個點,，你能作出第2條平行線來嗎,？
6 [5 e7 F5 N3 l% ?% k: u 既然有第5公設作保證，三角形的內(nèi)角和看來也就只好都等于180度 了,。
0 q% F; z; ]9 C 不過,，數(shù)學家們對這個"第5公設"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯誤,，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然,，很像是一個定理，于是試圖用其他的9個公理把它證明出來,，進而將它從公理的行列中趕出去,。
% h) ]+ j) Z' W" m! T+ X 《幾何原本》問世后的2000多年里，數(shù)學家傾注了無窮無盡的智慧,，始終也未能證明出第5公設,。雖然有不少人曾宣稱解決了這個問題，但一檢查就發(fā)現(xiàn),，他們不是證明過程有錯誤,，就是用一個更不明顯的公理代替了第5公設。無可奈何之下,，大數(shù)學家達朗貝爾稱它是"幾何學中的家丑",。
: h6 K: q% F1 U* t 19世紀初，有個叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年,，決定獻身于第5公設的研究,。他父親是個數(shù)學家，聽到這個消息給嚇壞了,。盡管父子倆天天生活在一起,，老波里亞為了鄭重其事,，竟用筆給兒子寫了一封勸告信。. z: ?! Q* x2 a. ~( P
波里亞深知父親的苦惱和失望,，但他沒有知難而退,，義無反顧地闖進了這個"毫無希望的黑夜"。他很快就發(fā)現(xiàn),，只要改變第5公設,，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學來，于是提出了一個新的平行公理：+ f% t3 W8 V4 ^& b. A
"在平面內(nèi),，過已知直線外的一個點,，至少可以作兩條直線與已知直線相平行。
$ @- r, q; c2 p 這個新公理否定了平行線的唯一性,。以它為基礎,，再加上原來的9個公理，就組成了一門新的幾何學,，叫雙曲幾何學,。凡是與舊的平行公理有關的定理，在雙曲幾何學中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非,，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論,。例如，在雙曲幾何學中,，不存在矩形,，也不存在相似三角形。最有趣的是,，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和,，而它們又都比180度 小,！5 D0 W) s( ]8 S! o/ _
能夠作出一種三角形，使它的內(nèi)角和小于180度,？對于習慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說,，這不啻是個"荒誕無稽"的海外奇談。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造,，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請求,，直到1832年，由于兒子的再三請求,，老波里亞才勉強同意將它作為一個附錄,，隨同自己的著作一起出版。
: f9 @3 b% |( s4 ?% J; p 老波里亞與"數(shù)學王子"高斯是大學時代的同窗好友,，他把"附錄"的清樣寄給高斯,，想聽聽這位數(shù)學權(quán)威的意見,。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才",，但同時又說,，他不便公開贊許，因為稱贊波里亞就等于稱贊他自己,。3 p: f! K |/ ~' A! ~% D
原來,，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn),。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究,，唯恐這種新幾何學在直觀上的"荒誕無稽"而遭到人恥笑。0 ~% v+ U2 M. U4 P1 Z
捍衛(wèi)真理是需要勇氣的,。: w# Y8 c9 }! J3 B+ d( W
早在波里亞著作發(fā)表之前6年,，在遙遠的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士,，率先亮出了這門新幾何學的旗幟,。7 z, T A5 `1 {( O% O
羅巴切夫斯基是一個偉大的俄國數(shù)學家。他獨立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn),，并為捍衛(wèi)新幾何學戰(zhàn)斗了一生,。當時，數(shù)學家們不理解他,，認為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個"笑話",，有人嘲笑他是"對有學問的數(shù)學家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人,，更是趁機對他進行惡毒的攻擊和下流的謾罵,。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學著作,，甚至當他已成為一個瞎眼老人時,，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學》，為這門新幾何學在數(shù)學王國里取得合理的地位而大聲疾呼,。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學的誕生,，所以雙曲幾何學又叫羅氏幾何學。. i& G+ {+ j9 r
羅巴切夫斯基,、波里亞和高斯,，用他們創(chuàng)造性的工作，動搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀念,，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路,。1854年，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學"不可思議"時，高斯的學生黎曼,，又給幾何王國增添了一種新的幾何學,。& g, P- U$ {! T: h
黎曼提出了另一種新的平行公理：
: C& T% l+ n4 w0 u# G( u- O "在平面上，過已知直線外的一個點,，不能作直線與已知直線相平行,。"1 H7 @* q3 b5 u8 z
這個新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎,，再加上原來的9個公理,，就組成了橢圓幾何學，也叫黎曼幾何學,。
1 T6 J4 @9 v% ^. b 在這種新的幾何學里,，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢？有趣得很,，它既不等于180度 ,，也不小于180度，而是大于180度 ,。
4 M \7 a# o! h: W. [+ ~ ` 黎曼幾何學中還有許多奇妙的結(jié)論,，例如，"直線的長是有限的,，但卻無止境,。"要弄懂這些理論非常困難。據(jù)說,，當黎曼第一次宣讀這方面的論文時,，除了高斯以外，會場上竟找不出第二個能夠聽懂的人,。; w8 w' U; w# h- X8 D8 e1 C6 |
羅氏幾何學與黎曼幾何學都是"純粹人造的"幾何學,，與人們的常識相悖，乍看起來都顯得非常不可思議,。實際上,，它們比傳統(tǒng)的幾何學更加深刻地反映了現(xiàn)實世界的空間形式。舉一個最著名的例子：愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對論,，就是以黎曼幾何學的空間概念為基礎的,！根據(jù)相對論學說，現(xiàn)實空間會發(fā)生彎曲,，到處是新幾何學的用武之地。
% D, ^5 ~# |) V: P a+ I 相傳高斯做過一次有趣的實驗,，他把相距很遠的3座山峰,，看作是三角形的3個頂點，然后計算它的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 ,。這正是黎曼幾何學的結(jié)論,。也許有人會說："這不是一個三角形。因為它不在一個平面上,，而是在地球這個曲面上,！"那么，哪里去找平面呢,？運動場是平面嗎,？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個曲面的一部分,。這樣,，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒有三角形,，怎么會有內(nèi)角和等于180度呢,？
3 V( O( Y/ g) W4 F8 V 羅氏幾何學與黎曼幾何學更精確地反映了現(xiàn)實空間，但是,，在我們的日常生活里,，傳統(tǒng)幾何學已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi),，水平面是非常接近于平面的,。實際上，我們也根本無法測出它的彎曲度,。這樣,，測量水面上一個三角形的內(nèi)角和，雖然它實際上并不等于180度,，我們卻無法測出它與真值之間的誤差,。所以，在我們身邊這個不大不小的空間里,，傳統(tǒng)的幾何學仍然是適用的,。' R, q8 t) d0 \( P5 {7 D
因此，在紙上畫三角形,，無論是怎樣畫,，把它的3個內(nèi)角加起來，都會等于180度 ,。但我們也應當知道,，在數(shù)學王國里，確實還有一些"稀奇古怪"的三角形,，它的內(nèi)角和是不等于180度 的,。
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發(fā)表于 2012-3-16 20:00:04
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