清明節(jié)作業(yè)

核動力三輪車

清明節(jié)沒有回老家,，窗外雨下個不停,。自己就在家里宅到現(xiàn)在。清靜的時候最好學(xué)習(xí),，做了一份作業(yè),，鞏固下基礎(chǔ)，有些收獲和大家分享,。
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4 g- Z4 N6 L" l題目來自大學(xué)課本,，劉鴻文教授寫的《材料力學(xué)》第二冊。原題用的是有限差分解法,。有限差分法數(shù)學(xué)意義很明確,，解法也比較簡單。但用過都知道,，有限差分法編程不方便,。當(dāng)然，對于簡單的問題,，也不一定就要編程,。基于假設(shè)位移場和最小勢能原理的瑞利里茲法就是一種很好用的方法,。在有限元法出現(xiàn)前,，和有限差分法一同是很好用的方法。第一張圖里我用的就是瑞利里茲法,。這種方法優(yōu)點就是物理意義清楚,。但缺點也很明顯，如圖里所示,。我只能取自己假設(shè)的位移場v(x)的第一項,。如果要取第二項，那么計算就會很繁瑣,。幸運的是,，即便只取第一項，位移的結(jié)果也是足夠精確的,。
! z+ F0 X1 H8 U! z# b第二張圖里我用的是有限元法,。有限元法可以看作傳統(tǒng)的瑞利里茲法改進。如圖一所示,，假設(shè)了一個函數(shù)v(x)描述軸的每一點的位移,。對于高維問題,、復(fù)雜結(jié)構(gòu)和復(fù)雜邊界條件，就可能需要構(gòu)建極為復(fù)雜的場<u(x,y,z,t,f),v(x,y,z,t,f),w(x,y,z,t,f)>描述整個的構(gòu)建,。而更要命的是，這個過程必須人工干預(yù),，所以是很難實現(xiàn)的,。如果能把瑞利里茲法應(yīng)用在一個簡單的結(jié)構(gòu)中，而想辦法把一個極為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解為若干簡單的結(jié)構(gòu)組合那不就可以保留這種方法的優(yōu)點嗎,？這在數(shù)學(xué)上的提法叫做分片插值,，這就是有限元法的本質(zhì)。有的書說有限元法來自瑞利里茲法,，有的書說來自伽遼金法,，其實都不妥帖。發(fā)明有限法的目的是為了在計算機上繼續(xù)應(yīng)用上述兩種方法,，這不是要求把算法復(fù)雜化,，反而是要求把算法簡化，流程化,。計算機適合做簡單枯燥的循環(huán),，所以必須把太靈活的傳統(tǒng)方法“簡化”為計算機上可以實現(xiàn)的算法。圖三是最終形成的剛度矩陣,。求解過程中要對矩陣進行重排,、分塊、求逆,、求乘以及后處理,。對于這根軸的計算，有限元法大幅增加了計算量,，但把人從枯燥的計算和針對復(fù)雜對象的不可能任務(wù)中解放了出來,。
# M% c3 d, F4 V5 B, @. F4 X在這道題中，采用的是歐拉粱單元,。既然歐拉梁是在xy坐標(biāo)系中定義的,，為什么要用截面轉(zhuǎn)交和撓度描述其變形呢？一個很重要的原因就是這樣做更簡潔,。,。。由于theta=dy/dx,，連續(xù)性條件要求假設(shè)的位移場存在一階導(dǎo)數(shù),，而應(yīng)變能中包含位移場的二階導(dǎo)數(shù)，這要求位移場存在二階導(dǎo)數(shù),。那么,，如圖二所示，合適的位移場是三次多項式。當(dāng)然,，也幸好只是三次的,，高次的很難處理。
這道題還有其他的解法,，比如采用常應(yīng)變?nèi)�角形——我非常想嘗試,。這可以練習(xí)使用形函數(shù)、等參單元,，并且可以用到雅可比矩陣,。但可以預(yù)見的是，即便網(wǎng)格更細(xì)密的三角形單元,，也很難得到粱單元的精度,。這提示我們有限元分析時一定要采用合理的單元類型。還有就是直接積分,，大學(xué)時這樣干過,，寫了好幾頁。當(dāng)然,，伽遼金法也可以,。
# G$ c7 r) h: f$ y+ _' w說了這些，給大家出道題：圖二的底部是節(jié)點位移,，怎么從節(jié)點廣義位移得到節(jié)點位移呢,？對于這道題，劃分更細(xì)密的粱單元,，可以得到更精確的結(jié)果嗎,？

qinghuap123

不明覺厲

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大學(xué)學(xué)的材料力學(xué)好久都沒有用過了,。難道是我們公司太低端了？