清明節(jié)作業(yè)

核動力三輪車

1 {1 C) S$ v. U# Y清明節(jié)沒有回老家，窗外雨下個不停。自己就在家里宅到現(xiàn)在,。清靜的時候最好學習，做了一份作業(yè),，鞏固下基礎(chǔ),，有些收獲和大家分享。
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題目來自大學課本,，劉鴻文教授寫的《材料力學》第二冊,。原題用的是有限差分解法。有限差分法數(shù)學意義很明確,，解法也比較簡單,。但用過都知道，有限差分法編程不方便。當然,，對于簡單的問題,，也不一定就要編程�,；�于假設(shè)位移場和最小勢能原理的瑞利里茲法就是一種很好用的方法,。在有限元法出現(xiàn)前，和有限差分法一同是很好用的方法,。第一張圖里我用的就是瑞利里茲法,。這種方法優(yōu)點就是物理意義清楚。但缺點也很明顯,，如圖里所示,。我只能取自己假設(shè)的位移場v(x)的第一項。如果要取第二項,，那么計算就會很繁瑣,。幸運的是，即便只取第一項,，位移的結(jié)果也是足夠精確的,。
$ m) J. v" |  O0 a第二張圖里我用的是有限元法。有限元法可以看作傳統(tǒng)的瑞利里茲法改進,。如圖一所示,，假設(shè)了一個函數(shù)v(x)描述軸的每一點的位移。對于高維問題,、復雜結(jié)構(gòu)和復雜邊界條件,，就可能需要構(gòu)建極為復雜的場<u(x,y,z,t,f),v(x,y,z,t,f),w(x,y,z,t,f)>描述整個的構(gòu)建。而更要命的是,，這個過程必須人工干預,，所以是很難實現(xiàn)的。如果能把瑞利里茲法應(yīng)用在一個簡單的結(jié)構(gòu)中,，而想辦法把一個極為復雜的結(jié)構(gòu)分解為若干簡單的結(jié)構(gòu)組合那不就可以保留這種方法的優(yōu)點嗎,？這在數(shù)學上的提法叫做分片插值，這就是有限元法的本質(zhì),。有的書說有限元法來自瑞利里茲法,，有的書說來自伽遼金法，其實都不妥帖,。發(fā)明有限法的目的是為了在計算機上繼續(xù)應(yīng)用上述兩種方法,，這不是要求把算法復雜化，反而是要求把算法簡化,，流程化。計算機適合做簡單枯燥的循環(huán)，所以必須把太靈活的傳統(tǒng)方法“簡化”為計算機上可以實現(xiàn)的算法,。圖三是最終形成的剛度矩陣,。求解過程中要對矩陣進行重排、分塊,、求逆,、求乘以及后處理。對于這根軸的計算,，有限元法大幅增加了計算量,，但把人從枯燥的計算和針對復雜對象的不可能任務(wù)中解放了出來。
在這道題中,，采用的是歐拉粱單元,。既然歐拉梁是在xy坐標系中定義的，為什么要用截面轉(zhuǎn)交和撓度描述其變形呢,？一個很重要的原因就是這樣做更簡潔,。。,。由于theta=dy/dx,，連續(xù)性條件要求假設(shè)的位移場存在一階導數(shù)，而應(yīng)變能中包含位移場的二階導數(shù),，這要求位移場存在二階導數(shù),。那么，如圖二所示,，合適的位移場是三次多項式,。當然，也幸好只是三次的,，高次的很難處理,。
8 a  w6 U2 ?1 ?這道題還有其他的解法，比如采用常應(yīng)變?nèi)�角形——我非常想嘗試,。這可以練習使用形函數(shù),、等參單元，并且可以用到雅可比矩陣,。但可以預見的是,，即便網(wǎng)格更細密的三角形單元，也很難得到粱單元的精度,。這提示我們有限元分析時一定要采用合理的單元類型,。還有就是直接積分，大學時這樣干過,，寫了好幾頁,。當然,，伽遼金法也可以。
6 u- `1 P/ O7 V說了這些,，給大家出道題：圖二的底部是節(jié)點位移,，怎么從節(jié)點廣義位移得到節(jié)點位移呢？對于這道題,，劃分更細密的粱單元,，可以得到更精確的結(jié)果嗎？

qinghuap123

不明覺厲

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大學學的材料力學好久都沒有用過了。難道是我們公司太低端了,？