求問一道數(shù)學(xué)題

陽光小院暖茶

有個題目,，想請教：
- R; O, G- q' l) p: s4 \確定所有三元正整數(shù)組（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每個數(shù)都是2的方冪,。（2的方冪是指形如2^n的整數(shù)，其中n是一個非負整數(shù),。）
% h6 H3 L$ X9 U' M6 ?不知道有沒有人能做出來

陽光小院暖茶

我已經(jīng)知道了幾組：2,2,2
! B9 L, L  r% e7 q9 W/ i2,2,3
, w, O/ a* h, N( F, ]# E3,5,7
2 g8 p- r, c8 d1 z; i2,6,11
' H" B  u: |: g但這個題目說是“所有的”,，所以搞不出來

crazypeanut

這是2015年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題的第二題

crazypeanut

0 ?& S/ P$ w3 v+ K+ {" H. y我沒有能力解答此問題,，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信,，解答是這樣的
/ j) i0 f( {1 a; u" I0 Z$ y( Z
答案是只有唯一解,，2，2,，2

0 X5 X6 h! `6 n/ a3 H% I

水水5

首先推測abc都是2的正整數(shù)次方~
1 W1 z) a' w1 C* s假設(shè)abc對2的冪分別為ABC
2 k4 A& Q5 H# a則,，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
, |; L2 a, l' U2 b1 r4 Z/ ~" I要使結(jié)果為2的正整數(shù)次冪，則A+B-C只能等于1
  z4 i- c+ H0 \3 {5 J6 N  I& H同理,，B+C-A=1;A+C-B=1
5 ~; I8 H  b" O9 u# C4 B4 a; n  L那……
我解不下去了,。

蕭mj

不會解

陽光小院暖茶

crazypeanut 發(fā)表于 2015-8-18 16:12
; c( O9 J9 Y$ S! E1 B我沒有能力解答此問題，但是,，我對自己的搜索能力有足夠自信,，解答是這樣的

; n  X8 p: w5 C- \答案是只有唯一解，2,，2,，2
...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧,。因為如果其中一個是1的話,，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數(shù)了，不可能同時為2的方冪,。
你驗證一下我給出的三元數(shù)組,，看看是否符合條件
6 q0 E* s2 u  a9 C7 @7 @: `
+ U3 O1 ?1 c) }* a9 F! G

crazypeanut

陽光小院暖茶 發(fā)表于 2015-8-18 16:23
大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧,。因為如果其中一個是1的話,，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數(shù)了 ...

- E; k) k! l% @仔細看了下，如果不允許出現(xiàn)2的0次冪,，那,，2，2,，2是唯一解,；
3 y' }6 \% _" h4 q
$ o: C- l; Z' o所以，如果允許出現(xiàn)2的0次冪,，那么我們可以增加一個約束條件,，ab-c=1，這樣難度就降低了

yue7261598

數(shù)學(xué)玩 死人

crazypeanut

看這個吧

5 z5 m: x# w0 V2 T我確實解不出,，這種有關(guān)整除以及正整數(shù)的題,，我都是軟肋



' h$ o1 b" ^- d2 T' ^0 v/ k: N
. ~9 ^: O+ \- A, Z4 O. p7 E( _
  [4 m- N# q0 O+ l0 f9 y