求問(wèn)一道數(shù)學(xué)題

陽(yáng)光小院暖茶

有個(gè)題目,，想請(qǐng)教：
確定所有三元正整數(shù)組（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每個(gè)數(shù)都是2的方冪,。（2的方冪是指形如2^n的整數(shù)，其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。）
9 J0 P( J' y7 `9 F$ r6 R$ P, y不知道有沒(méi)有人能做出來(lái)

陽(yáng)光小院暖茶

我已經(jīng)知道了幾組：2,2,2
2,2,3
3,5,7
2,6,11
$ e. [- h% b  e2 k/ W& T4 \' B% d% W但這個(gè)題目說(shuō)是“所有的”,，所以搞不出來(lái)

crazypeanut

這是2015年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題的第二題

crazypeanut

- a. J: r# d/ b! |我沒(méi)有能力解答此問(wèn)題,，但是，我對(duì)自己的搜索能力有足夠自信,，解答是這樣的

% z3 z7 g* \8 B+ c& q答案是只有唯一解,，2，2,，2
* z0 B( L& H( ^3 h$ f2 x! @) ?

水水5

首先推測(cè)abc都是2的正整數(shù)次方~
假設(shè)abc對(duì)2的冪分別為ABC
則,，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使結(jié)果為2的正整數(shù)次冪，則A+B-C只能等于1
同理,，B+C-A=1;A+C-B=1
$ z, a: h* Q* D3 H9 d* v那……
5 b7 n; ~6 _8 O我解不下去了,。

蕭mj

不會(huì)解

陽(yáng)光小院暖茶

crazypeanut 發(fā)表于 2015-8-18 16:12
1 Q0 C, X+ G8 c7 T" W我沒(méi)有能力解答此問(wèn)題，但是,，我對(duì)自己的搜索能力有足夠自信,，解答是這樣的
5 K" q3 z2 V" }
: `# x3 L' D2 y  {) f! Q. R6 o答案是只有唯一解，2,，2,，2
...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧,。因?yàn)槿绻�其中一個(gè)是1的話,，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對(duì)相反數(shù)了，不可能同時(shí)為2的方冪,。
你驗(yàn)證一下我給出的三元數(shù)組,，看看是否符合條件

& c2 n8 ?" }/ k" P

crazypeanut

陽(yáng)光小院暖茶 發(fā)表于 2015-8-18 16:23
5 s( D; j! w# v% i大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧,。因?yàn)槿绻�其中一個(gè)是1的話,，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對(duì)相反數(shù)了 ...

仔細(xì)看了下，如果不允許出現(xiàn)2的0次冪,，那,，2，2,，2是唯一解,；

所以，如果允許出現(xiàn)2的0次冪,，那么我們可以增加一個(gè)約束條件,，ab-c=1，這樣難度就降低了

yue7261598

數(shù)學(xué)玩 死人

crazypeanut

看這個(gè)吧

( A: z7 x0 V9 l- g# \; U5 Y我確實(shí)解不出,，這種有關(guān)整除以及正整數(shù)的題,，我都是軟肋
0 J# F6 [* P0 t1 {
9 o2 L: m3 V' \: Y$ R8 ~


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