本帖最后由 兩岸猿聲啼不住 于 2012-9-11 11:39 編輯 / ]( I. ^! w8 ]% t" A( h6 ~
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說到這個(gè)話題,，首先最好要明白，這是屬于西方科學(xué)——數(shù)學(xué)范疇的問題,，既然屬于西方數(shù)學(xué)的范疇,，那么你就得用它的思維方式和語言來談?wù)摚荒苡萌粘Ｉ畹脑捳Z來談?wù)�,，大家說是不？研究唐詩宋詞你就得用古漢語,，研究俳句你就得融入日本文化,，那么探討這個(gè)0.9…與1的關(guān)系之類的問題，當(dāng)然就得用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言,，也就是行話,，大家說對(duì)吧？ 就我所知,，在西方數(shù)學(xué)中,，是有數(shù)系的說法的。數(shù)系最簡單的是自然數(shù)系,，就是從1,、2、3……等一直數(shù)下去,，繼而是“比例數(shù)”系,，這個(gè)比例數(shù)一定要強(qiáng)調(diào)，就是兩個(gè)自然數(shù)之比,，現(xiàn)在的教材都翻譯為有理數(shù),，把人弄糊涂了。其實(shí)好像數(shù)學(xué)天才陶哲軒也是主張翻譯成“比例數(shù)”的,，因?yàn)楸緛肀壤龜?shù)的定義就是“自然數(shù)/自然數(shù)”,，那么凡是不能用兩個(gè)自然數(shù)之比來表達(dá)的數(shù)比如√2，就叫“非比例數(shù)”,，這比什么有理數(shù)無理數(shù)清楚明白多了,。當(dāng)初我在學(xué)校學(xué)習(xí)這個(gè)有理數(shù)無理數(shù)的時(shí)候就納悶了,，既然都無理了，為什么還敢出來……搞不懂,，不敢問老師,，話說上學(xué)時(shí)有太多感覺不合常理的東西，都不敢問老師…… 那么回過頭來說,，這個(gè)0.9…到底是指什么呢,？是｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝這個(gè)無窮序列，還是單純指一個(gè)數(shù),？在這里我傾向于后者,。實(shí)際上前者的形式只是為了讓人好理解而已，其目的是為了讓人明白無窮數(shù)列的極限并不包含在數(shù)列之中,。 有朋友說,，既然 0.1...＝1/9，那么 0.9... = 0.1... × 9 = 1/9 × 9 = 1,，是再明顯不過的了,，于是 0.9... = 1 得證。如果僅僅看結(jié)果而不看過程的話,，即使是再高明的大數(shù)學(xué)家,，對(duì)這個(gè)結(jié)果也會(huì)無話可說。但是話說回來,，如果我們是那種搞粗放種植的莊戶人,，我們就完全不必費(fèi)那么多心思，琢磨這種細(xì)枝末節(jié)的東西,，就一鋤一個(gè)坑,，然后把種子撒進(jìn)去，敷上土拉倒,。但是這個(gè)活卻不像種莊稼那么粗糙,，它就像制作機(jī)械表。我感覺,，設(shè)計(jì)農(nóng)用大馬力拖拉機(jī)的工程師,，如果不經(jīng)學(xué)習(xí)，應(yīng)該設(shè)計(jì)不了精密機(jī)械表,，也就是說,，研究精密的東西，你得思維也得要匹配,，也得要精密細(xì)致起來,。 我們知道實(shí)數(shù)系里面有兩種數(shù)，一種是“比例數(shù)”,，一種是“非比例數(shù)”,。那么0.9...到底是比例數(shù),，還是非比例數(shù),？我反正是找不到它的比例數(shù)表達(dá)式,，只好把它當(dāng)作非比例數(shù),。但是0.1...=1/9,，卻是一個(gè)不折不扣的比例數(shù)，還有0.3...=1/3也是,。這樣一來,，就能看出上面那個(gè)證明的錯(cuò)誤所在了,。0.1...是比例數(shù),，9也是比例數(shù),，兩個(gè)比例數(shù)相乘，怎么就能得出非比例數(shù)0.9...呢,？所以那個(gè)證明,，從分析的角度來看，我覺得有點(diǎn)似是而非,。因?yàn)閿?shù)學(xué)運(yùn)算除了六種基本代數(shù)運(yùn)算加減乘除乘方開方外,，還有一種極限運(yùn)算即lim運(yùn)算，而后者正是所謂高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),。說點(diǎn)題外話,，高等數(shù)學(xué)這個(gè)名稱本身就拒人于千里之外，好像是高等人才能學(xué)的一樣…… 要嚴(yán)格探討0.9...與1的關(guān)系,，就需要借助更深一層的數(shù)學(xué)思維。比方說,，實(shí)數(shù)的戴德金分割,，也就是數(shù)軸的分割。在一條一維數(shù)軸上,，不知道有多少數(shù),，但可以肯定的是，每個(gè)數(shù)的兩邊都有數(shù),，且每兩個(gè)數(shù)之間都有無窮多個(gè)數(shù),，更讓粗思維的人困惑的是，“我們無法寫出緊挨著一個(gè)數(shù)的另一個(gè)數(shù)”,，這句話里面蘊(yùn)含著“連續(xù)性”的意思,。比方說，緊挨著1的自然數(shù)是2,，但緊挨著1的實(shí)數(shù)是多少,，是1.0...（無窮個(gè)0）1嗎？在樓主看來,，無窮這個(gè)詞跟無知是等價(jià)的……當(dāng)然這個(gè)問題在這里不做深入討論,。 我們把實(shí)數(shù)系即數(shù)軸做一個(gè)分割,，也就是分成兩部分，其中左邊的數(shù)都小于右邊的數(shù),，那么這個(gè)分割的界限,，根據(jù)其理論，要么是比例數(shù),，要么是非比例數(shù),。那么我們把數(shù)軸比方說分成(-∞, 1)與[1, +∞)兩部分，那么這個(gè)分割的界限就是比例數(shù)1,，且這個(gè)界限屬于右區(qū)間,，而不是左區(qū)間。這個(gè)時(shí)候,，不知道大家注意到?jīng)]有,，那就是在左區(qū)間，存在最大的數(shù)嗎,？這個(gè)最大的數(shù)是多少,，你能寫出來嗎？右區(qū)間最小的數(shù)是1,，可左區(qū)間最大的數(shù)是多少,？你在網(wǎng)上搜索到的這些問題的答案，都很讓人困惑,，包括樓主,。還有，就這個(gè)分割看來,，應(yīng)該是包含了全部的實(shí)數(shù)了,，那么那個(gè)所謂的0.9...，肯定也是被包含在其中了,。那么它是被包含在左邊還是右邊呢,？顯而易見是在左邊。那么它跟1之間到底相差多少呢,？從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)來看,，相差一個(gè)無窮小。那么為什么大家都說0.9...=1呢,？而又有人說不相等呢,？因?yàn)閺姆菢?biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看來，相差一個(gè)無窮小的兩個(gè)數(shù)可以認(rèn)為是等價(jià)的,。但對(duì)于普通人來講,，等價(jià)跟相等差別不大，所以也可以認(rèn)為它們相等。就像y=x^2的導(dǎo)數(shù)或者說微分,，或者說微商或差商的極限,，嚴(yán)格來說，其表達(dá)式應(yīng)該是△y/△x=2x+o(x),，但是大家都默認(rèn)是y'=2x一樣,，二者只相差一個(gè)無窮小。所以有學(xué)者認(rèn)為微積分的精髓就是“略去高階無窮小”,。明白了這其中的因由,，你就能體會(huì)到那種從看山是山，到看山不是山,，到最后看山又是山的感覺了,。 說實(shí)話，我覺得對(duì)有志于補(bǔ)習(xí)一點(diǎn)微積分知識(shí)的初學(xué)者來說,，上面說的這些簡單的提綱,，如果你能明白一些，不知能給你節(jié)省多少時(shí)間,，而且還是徹底清楚明白的掌握微積分,，而不是云里霧里，只會(huì)查手冊(cè)套公式,，套起來心里還沒底,。話說外行照抄答案都不一定能抄對(duì)。當(dāng)然了,，在機(jī)械論壇里談這些東西,，難免有賣弄的嫌疑，但我是知無不言,，并且我把好多專業(yè)名詞術(shù)語給白話化了,，但也有好多話題沒有展開。因?yàn)槲艺J(rèn)為思維無分貴賤,，很多時(shí)候并不是作者所談的東西人家不明白，而是作者沒能說得人家能明白,。當(dāng)然了,，如果真的一點(diǎn)兒基礎(chǔ)也沒有，也真讓別人難為其說了,。
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發(fā)表于 2012-9-11 11:36:45
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