0.999......到底應不應該等于1？

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-16 22:47
6 c- n0 k! V1 |4 ~zero大俠：
5 R& q) \4 @3 d" A: a1. 數量比較是不需要具體差值的,，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高 ...

2 @  N' O: y& x* ~4 l* d( B5 a1 l7 oP大,。我感覺討論越來越有意思了。
; e1 _  @) M+ u& D1,。數量比較比一定需要差值,，因為只要有參照物即可。但是數值比較不同,�,？梢越栌媚氵@個例子,。（我沒有那么高啊）,。A身高1米8,，B身高1米7，這樣兩個人站一起就知道差別,。但是如果我們討論二者身高差量同另外一個參照物,，比如一顆手雷的比較時，直接的做法是把他們放一起,，再比較,。而當你不能把兩個比較對象直觀的放在一起時呢？或者對比時看參照物的具體位置變動呢,？這樣就沒有辦法比較了,。或者說,，A身高1米71,，B身高1米7。這種小差距不能辨識的情況呢,？所以我才強調,，不要說1-0.99...的差值一定比0.1小這樣的話，因為這種直觀上的比較不能作為數學論證的依據,。同樣的例子就是歌德巴赫猜想,。比如1+2=3。如果就是直觀的講的話,，那就不需要證明了,，不是嗎？
所以,，當討論數值比較,，特別是差值比較時，你至少是要確定這個值的,。
2,。關于這句“證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了”。我感覺我們像是進入了一個雞和蛋的哲學問題中,。究竟是先有證明1-0.9...=0還是先有|1-0.9....|<任意給定正數,。哈哈。這么說吧,，
% U" Q3 j( i+ J5 C3 K7 B, f+ P我們先討論下|1-0.9....|<任意給定正數這句話,。比如我給定一個正數0.1，你該如何證明1-0.9....小于0.1呢,？你可以說,，1-0.9=0.1,。1-0.99=0.01<0.1。所以,，1-0.99...<0.1,。但是問題就出來了，你計算前兩個式子的時候,，是有限位計算,，按找張先生的理論，是有意義的,。而問題就出在第三步上,。0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎,？0.99...<0.99嗎,？所有的這三個比較式你都不能直接使用，你都必須先要證明一個確定的關系發(fā)生在0.99..同0.99之間,。而如何確定,，這就是需要四則運算的地方。比如0.99...同0.99在小數點后的前兩位相同,，但0.99..右側還有數位。即0.99...=0.99+0.009...,，而0.009..>0,，所以0.99..<0.99。而這之中,，實際上你已經在用一次四則運算了,。所以，說這么多,，其實就是一句話,，如果拋棄四則運算本身，|1-0.9....|<任意給定正數 這個問題不可證,。既然不可證,，那么至少你不能用這個式子說明1=0.99...
接著就是1=0.99..的證明，其實你可以去看各種的證明的方法,，有級數計算的,，有錯位相減的。但是最終都是在一個進行四則運算的基礎上,。比如說級數計算的,。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通過等比數列和法求的
6 Z: o5 s/ ?/ {* M0.99..=1-lim(1/10)^n=1,。而這其中,，其實也是在四則運算,。如果嚴格按照張先生的理論，那么同樣,，9*（1/10）^n是找不到的右位,，那么最后的lim(1/10)^n原則上也不應該出現。說白了,，就是不可證,。
總之，通過假設推論,，如果因為找不到右位而否定四運算的可行性,，那么現有的多數證明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意給定正數”的比較就成了雞蛋問題,。哈哈,。
  g& ~" p9 d! W+ F. t: R, h# x3 b3。我不太明白大俠寫這三個式子同證明1-0.99..的差值和任意正數的關系有什么聯系,。
4,。我寫的那個式子，希望大俠看全,。
, @( p" G/ f! y% ]% O1 N: ?( a1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
( i4 r* P( _9 b3 X其關鍵是第二個等號的右側,。因為那一部分的計算是脫離小數但卻符合小數各數位四則的部分。也就是說,，講0.33..級數話,，然后各級數的分數表達做加法。換句話說,，如果你承認這種級數分數的運算方法是對的,，這跟直接去計算無限循環(huán)小數的各數位是一致的。因為,，0.33...+0.33...四則運算的時候實際上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....,。說白了，無論你是否能找到右位,，級數計算和直接小數計算都是在這樣進行的,。唯一讓人疑惑的就是進位，但我之前闡述過了,，其實進位并不是問題,。

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 00:06
; c) _, r5 }% ~( q$ z" P/ ^P大。我感覺討論越來越有意思了,。
# q4 t+ H( N; Y1,。數量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數值比較不同 ...

0 ^* B8 v8 W2 ~8 \' @3 m# U1. 數值比較同樣不需要具體差值,。
* ]4 P% X% Z. B2 O+ S3 Y7 C( N( Y假設咱倆穿越下,，來到一個古代，那時人們還沒有具體數的概念,，但有多少的概念,。零俠你是元帥，統(tǒng)領一大群兵,，還有一大群馬,。我是你朋友，跑過來看你,，你很高興,，請我喝酒。然后我問你一個問題,，零帥,，你到底是兵多呢，還是馬多呢,？你回答不了,，因為那時不會數數，但咱們還是想到了一個辦法,，讓每個兵去牽一匹馬,。最后有兵沒牽到馬，說明兵多,；有馬沒兵牽,，說明馬多；以上兩種情況都沒有,，說明兵和馬一樣多,。
  }& i* b. I' e3 B7 [另外從歷史上看,，多少的概念比減法概念出現的要早很多,。所以說數值比較不需要具體差值。至于“小差距不能辨識的情況呢”,，放大呀,，數學最擅長這個了。
2.” 0.99...=0.99嗎,？0.99...>0.99嗎,？0.99...<0.99嗎？”
零俠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n,，同樣可以展開0.99.....啊,，很容易就能證明0.99...>0.99。不存在雞蛋問題。
3. 下面3個算式只是想說明有些無限小數是可以運算的,，只要有定義,。
    0.1....-0.1.....=0
    1x0.1....=0.1.....
* e& M2 A* f) |! n. g" w    0.1.....+0=0.1.....
4. “我寫的那個式子，希望大俠看全,。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”
  上面運算的實質是極限,，并沒有定義/證明無限小數的運算規(guī)則。
5. “其實進位并不是問題,�,！币驗樵蹅冇懻摰�1/3、1/9有點特殊,，循環(huán)節(jié)只有1位,。循環(huán)節(jié)不同的小數怎么加？1/3+π怎么加,？

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-17 10:09
1 F! }+ \6 b4 u1. 數值比較同樣不需要具體差值,。
6 o% A4 {5 j, p# T3 w假設咱倆穿越下，來到一個古代,，那時人們還沒有具體數的概念,，但有多少 ...

1。呵呵,，你的例子很有意思,。但是還是那句話，不能作為一個定理來應用于證明,。不扯那么遠的例子,，就說1和0.99..的差值，這么說,，我們不四則,，也不知道差值究竟有多少，然后我給了一個小實數,，0.000....001,，在1的前面有n個，或者無限個零,。那么你該如何比較這個差值和這個小實數的大小呢,？你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等,，但是推倒無限位的時候,，你既不能通過四則運算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結論,，那么你該怎么辦呢,？如果我們把這個推廣到那個人和馬的例子上。比如人很多，馬也很多,。前面不斷的有人在牽馬,，后面還有很長的隊在等待牽馬，而檢查的人在檢查到一半的時候就已經說不清究竟誰牽過馬,，誰沒有了,。那么這種情況，你還有辦法比較嗎,？另外,，這個例子其實是在一個參照系下進行的。當你換了參照系呢,？比如那個著名的新龜兔賽跑的例子,，烏龜和兔子兩人從一點出發(fā)自東向西跑，裁判是太陽,。最后的結果就是烏龜比兔子跑得快,。哈哈。這也是為什么我說這樣的所謂可比性不能作為證明的依據的原因,。
# {5 x2 ^: \' K4 ?! R/ W* u( H1 E2,。呵呵，我希望你再看下我的話,。0.99....可以通過級數展開,，但是分數展開的本身實際上等價于小數逐位展開的本身。換句或說,，220就等價于200+20+0, 等價于2*100+2*10+0*1,。同樣的，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等價于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001,。這樣的式子恒等價,，因為這是實數構成的基本法則，即逐位安置,。而逐位安置本身就是在應用四則運算,。所以，如果說無限小數不能進行四則運算,，那么同樣的,，0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形勢,。因為你后面的無限位數該如何相加呢,？是否會有進位呢？是否在某一位,，9*（1/10）^n=0了呢,？既然不能這樣寫，那么還是那個問題，你怎么比較呢,？
3,。這三個例子其實不是在說無限小數可以運算，而是在說任意實數的一個通性,。這個通性本身跟四則運算沒有什么關系,。
+ S2 q2 H0 G8 b2 a: J4。那個式子的關鍵在于逐位安置,，然后逐位相加,。所以才有2*3*（1/10）的寫法。就像我前面說的,，逐位安置是實數構成的基本法則,。如果你承認這種逐位相加，那么跟你在運算0.33...+0.33..的逐位相加有什么區(qū)別呢,？只是因為一個是分數的逐位形勢一個是小數的逐位形勢嗎,？這才是這個長等式要表述的問題。跟級數也好,，跟極限也好,，都沒有關系。本質是數字構成,。
2 i- c+ U; J0 c3 q4 N5,。我在更早的回復里提到過，進位計算對于無限循環(huán)小數不是問題,，對于無理數比較麻煩,。而實際上，即便不使用小數形勢進行計算,，你依舊沒有辦法計算無理數,。比如1/3+Pi，他究竟是多少呢,？或者說他究竟等于一個什么像的無限不循環(huán)小數呢,？同樣的，如果你不用1/3的小數形勢0.33...同Pi的有限小數形勢比如3.14159進行四則運算,，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個數值解嗎,？沒有！你不僅得不到一個無限右位的解,，也得不到一個有限右位的解,。不是嗎？

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 14:20
/ r6 _  d. t& |: b/ F9 c6 z# c5 E1,。呵呵,，你的例子很有意思,。但是還是那句話，不能作為一個定理來應用于證明,。不扯那么遠的例子,，就說1和 ...

zero大俠：

1.  故事，而且還是虛擬的故事自然不能當定理用,�,？墒俏矣玫姆椒ㄊ强梢援敹ɡ碛玫摹�

     因為我在2個集合的元素之間建立起了一一對應的關系,。一一對應準則是康托爾集合論的基石,，集合論與現代數學的關系我   
7 i7 {* [# Y% U) `( W  Z$ b     就不說了。

2.  “ 0.000....001,，在1的前面有n個,，或者無限個零”，無限個零說法是不對的,，具體見截圖--最后一位,。

3.  “你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等,，但是推倒無限位的時候,，”
      為什么要推到無限位呢？我只要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了,，只要你給定了一個數,，這個數就固定下來了，我肯
      定能證明│ 1-0.9...│<這個數,，按照實數系的阿基米德性質,，就能得到│ 1-0.9...│=0。

4.  “你既不能通過四則運算得到一個實際的差值,，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結論,，”
# j1 S* D5 j* s$ c1 x1 ?+ P      怎么不能得到差值小于另一個差值？見截圖--實數的比較,，來自張筑生的數學分析,。

      由比較規(guī)則輕松可得0.9....>0.9或0.99或0.999。

5.   實際生活中,，如果零俠有個幾萬兵馬,，我那個方法確實很難執(zhí)行；如果零俠只有幾十兵馬,，幾分鐘結果就出來了,。不過從數
, d# D+ `2 L; e* }1 h      學上看，幾十兵馬可以用這種方法判別多少,？那幾萬兵馬同樣可以用這種方法判別多少,！

6.  “0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形式。因為你后面的無限位數該如何相加呢,？”
3 H& ?1 d- A% G& j      為什么要硬加呢,？無窮級數和難道是一項一項加出來的？

7.  “那個式子的關鍵在于逐位安置,，然后逐位相加”

      逐位安置我承認,，可為什么要逐位相加呢？理由同第6點,。

8.  “如果你不用1/3的小數形勢0.33...同Pi的有限小數形勢比如3.14159進行四則運算,，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個
      數值解嗎？”

     有一個很用力的近似計算工具,，叫逼近,。數值解，可以呀,，你要精確到幾位小數,？

     零俠可以回顧下人類認識π的歷史，從周三徑一開始,，雖然人們不知道π具體數值,，甚至不知道π是無理數，但已經把π控制在
     3~4了,，到劉徽的割圓術,，就可以把π控制在很精確的范圍了；π可以逼近,，π+1/3同樣可以逼近,。

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