0.999......到底應(yīng)不應(yīng)該等于1,？

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-16 22:47
zero大俠：
1. 數(shù)量比較是不需要具體差值的,，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高,，零俠身高 ...

P大,。我感覺討論越來越有意思了。
1,。數(shù)量比較比一定需要差值,，因為只要有參照物即可。但是數(shù)值比較不同,�,？梢越栌媚氵@個例子,。（我沒有那么高啊）,。A身高1米8,，B身高1米7，這樣兩個人站一起就知道差別,。但是如果我們討論二者身高差量同另外一個參照物,，比如一顆手雷的比較時，直接的做法是把他們放一起,，再比較,。而當(dāng)你不能把兩個比較對象直觀的放在一起時呢？或者對比時看參照物的具體位置變動呢,？這樣就沒有辦法比較了,。或者說,，A身高1米71,，B身高1米7。這種小差距不能辨識的情況呢,？所以我才強(qiáng)調(diào),，不要說1-0.99...的差值一定比0.1小這樣的話，因為這種直觀上的比較不能作為數(shù)學(xué)論證的依據(jù),。同樣的例子就是歌德巴赫猜想,。比如1+2=3。如果就是直觀的講的話,，那就不需要證明了,，不是嗎？
所以,，當(dāng)討論數(shù)值比較,，特別是差值比較時，你至少是要確定這個值的,。
2,。關(guān)于這句“證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了”。我感覺我們像是進(jìn)入了一個雞和蛋的哲學(xué)問題中,。究竟是先有證明1-0.9...=0還是先有|1-0.9....|<任意給定正數(shù),。哈哈。這么說吧,，
1 P  j& P5 t7 t" m  Z6 U我們先討論下|1-0.9....|<任意給定正數(shù)這句話,。比如我給定一個正數(shù)0.1，你該如何證明1-0.9....小于0.1呢？你可以說,，1-0.9=0.1,。1-0.99=0.01<0.1。所以,，1-0.99...<0.1,。但是問題就出來了，你計算前兩個式子的時候,，是有限位計算,，按找張先生的理論，是有意義的,。而問題就出在第三步上。0.99...=0.99嗎,？0.99...>0.99嗎,？0.99...<0.99嗎？所有的這三個比較式你都不能直接使用,，你都必須先要證明一個確定的關(guān)系發(fā)生在0.99..同0.99之間,。而如何確定，這就是需要四則運算的地方,。比如0.99...同0.99在小數(shù)點后的前兩位相同,，但0.99..右側(cè)還有數(shù)位。即0.99...=0.99+0.009...,，而0.009..>0,，所以0.99..<0.99。而這之中,，實際上你已經(jīng)在用一次四則運算了,。所以，說這么多,，其實就是一句話,，如果拋棄四則運算本身，|1-0.9....|<任意給定正數(shù) 這個問題不可證,。既然不可證,，那么至少你不能用這個式子說明1=0.99...
接著就是1=0.99..的證明，其實你可以去看各種的證明的方法,，有級數(shù)計算的,，有錯位相減的。但是最終都是在一個進(jìn)行四則運算的基礎(chǔ)上,。比如說級數(shù)計算的,。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通過等比數(shù)列和法求的
% t1 N3 H" ?  w7 J# T0.99..=1-lim(1/10)^n=1。而這其中,，其實也是在四則運算,。如果嚴(yán)格按照張先生的理論，那么同樣,，9*（1/10）^n是找不到的右位,，那么最后的lim(1/10)^n原則上也不應(yīng)該出現(xiàn)。說白了,，就是不可證,。
( }7 l' A+ q8 b1 C. N總之，通過假設(shè)推論,，如果因為找不到右位而否定四運算的可行性,，那么現(xiàn)有的多數(shù)證明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意給定正數(shù)”的比較就成了雞蛋問題,。哈哈,。
3。我不太明白大俠寫這三個式子同證明1-0.99..的差值和任意正數(shù)的關(guān)系有什么聯(lián)系,。
4,。我寫的那個式子，希望大俠看全,。
, w7 j! b. I# _. {  g5 v. T1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
2 N2 J+ B" b5 _; T其關(guān)鍵是第二個等號的右側(cè),。因為那一部分的計算是脫離小數(shù)但卻符合小數(shù)各數(shù)位四則的部分。也就是說,，講0.33..級數(shù)話,，然后各級數(shù)的分?jǐn)?shù)表達(dá)做加法。換句話說,，如果你承認(rèn)這種級數(shù)分?jǐn)?shù)的運算方法是對的,，這跟直接去計算無限循環(huán)小數(shù)的各數(shù)位是一致的。因為,，0.33...+0.33...四則運算的時候?qū)嶋H上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....,。說白了，無論你是否能找到右位,，級數(shù)計算和直接小數(shù)計算都是在這樣進(jìn)行的,。唯一讓人疑惑的就是進(jìn)位，但我之前闡述過了,，其實進(jìn)位并不是問題,。

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 00:06
P大。我感覺討論越來越有意思了,。
& [) `: ^4 I: ^. j1,。數(shù)量比較比一定需要差值,，因為只要有參照物即可。但是數(shù)值比較不同 ...

1. 數(shù)值比較同樣不需要具體差值,。
假設(shè)咱倆穿越下,，來到一個古代，那時人們還沒有具體數(shù)的概念,，但有多少的概念,。零俠你是元帥，統(tǒng)領(lǐng)一大群兵,，還有一大群馬,。我是你朋友，跑過來看你,，你很高興,，請我喝酒。然后我問你一個問題,，零帥,，你到底是兵多呢，還是馬多呢,？你回答不了，因為那時不會數(shù)數(shù),，但咱們還是想到了一個辦法，讓每個兵去牽一匹馬,。最后有兵沒牽到馬,，說明兵多；有馬沒兵牽,，說明馬多,；以上兩種情況都沒有，說明兵和馬一樣多,。
- F& V/ v& R- U* Y, a' q另外從歷史上看,，多少的概念比減法概念出現(xiàn)的要早很多。所以說數(shù)值比較不需要具體差值,。至于“小差距不能辨識的情況呢”,，放大呀，數(shù)學(xué)最擅長這個了,。
2.” 0.99...=0.99嗎,？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎,？”
1 f& A! A8 D: O% W1 t零俠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n,，同樣可以展開0.99.....啊，很容易就能證明0.99...>0.99,。不存在雞蛋問題,。
" K# D: ]4 X& [: Z4 Q8 y3. 下面3個算式只是想說明有些無限小數(shù)是可以運算的,，只要有定義,。
" A2 {# x. t8 ^- m! N4 P( A    0.1....-0.1.....=0
/ s; X+ l7 B( j( C& @7 J: r; `) ?    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....
4. “我寫的那個式子,，希望大俠看全。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”
" ]* c; R/ q' V* U! l9 D  上面運算的實質(zhì)是極限,，并沒有定義/證明無限小數(shù)的運算規(guī)則,。
5. “其實進(jìn)位并不是問題�,！币驗樵蹅冇懻摰�1/3、1/9有點特殊,，循環(huán)節(jié)只有1位,。循環(huán)節(jié)不同的小數(shù)怎么加？1/3+π怎么加,？

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-17 10:09
1. 數(shù)值比較同樣不需要具體差值,。
假設(shè)咱倆穿越下，來到一個古代,，那時人們還沒有具體數(shù)的概念,，但有多少 ...

1,。呵呵,，你的例子很有意思。但是還是那句話,，不能作為一個定理來應(yīng)用于證明,。不扯那么遠(yuǎn)的例子,，就說1和0.99..的差值,，這么說，我們不四則,，也不知道差值究竟有多少,，然后我給了一個小實數(shù),，0.000....001，在1的前面有n個,，或者無限個零,。那么你該如何比較這個差值和這個小實數(shù)的大小呢？你可以證明,，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候,，你既不能通過四則運算得到一個實際的差值,，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結(jié)論，那么你該怎么辦呢,？如果我們把這個推廣到那個人和馬的例子上,。比如人很多，馬也很多,。前面不斷的有人在牽馬，后面還有很長的隊在等待牽馬,，而檢查的人在檢查到一半的時候就已經(jīng)說不清究竟誰牽過馬，誰沒有了,。那么這種情況，你還有辦法比較嗎,？另外,，這個例子其實是在一個參照系下進(jìn)行的,。當(dāng)你換了參照系呢？比如那個著名的新龜兔賽跑的例子,，烏龜和兔子兩人從一點出發(fā)自東向西跑，裁判是太陽,。最后的結(jié)果就是烏龜比兔子跑得快,。哈哈,。這也是為什么我說這樣的所謂可比性不能作為證明的依據(jù)的原因,。
9 }& I4 t- }+ W0 \2。呵呵,，我希望你再看下我的話。0.99....可以通過級數(shù)展開,，但是分?jǐn)?shù)展開的本身實際上等價于小數(shù)逐位展開的本身。換句或說,，220就等價于200+20+0, 等價于2*100+2*10+0*1。同樣的,，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等價于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001,。這樣的式子恒等價,，因為這是實數(shù)構(gòu)成的基本法則，即逐位安置,。而逐位安置本身就是在應(yīng)用四則運算。所以,，如果說無限小數(shù)不能進(jìn)行四則運算，那么同樣的,，0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形勢,。因為你后面的無限位數(shù)該如何相加呢？是否會有進(jìn)位呢,？是否在某一位,，9*（1/10）^n=0了呢？既然不能這樣寫,，那么還是那個問題,，你怎么比較呢,？
3,。這三個例子其實不是在說無限小數(shù)可以運算,，而是在說任意實數(shù)的一個通性。這個通性本身跟四則運算沒有什么關(guān)系,。
4。那個式子的關(guān)鍵在于逐位安置,，然后逐位相加。所以才有2*3*（1/10）的寫法,。就像我前面說的，逐位安置是實數(shù)構(gòu)成的基本法則,。如果你承認(rèn)這種逐位相加，那么跟你在運算0.33...+0.33..的逐位相加有什么區(qū)別呢？只是因為一個是分?jǐn)?shù)的逐位形勢一個是小數(shù)的逐位形勢嗎,？這才是這個長等式要表述的問題。跟級數(shù)也好,，跟極限也好，都沒有關(guān)系,。本質(zhì)是數(shù)字構(gòu)成,。
5,。我在更早的回復(fù)里提到過,，進(jìn)位計算對于無限循環(huán)小數(shù)不是問題，對于無理數(shù)比較麻煩,。而實際上，即便不使用小數(shù)形勢進(jìn)行計算,，你依舊沒有辦法計算無理數(shù)。比如1/3+Pi,，他究竟是多少呢？或者說他究竟等于一個什么像的無限不循環(huán)小數(shù)呢,？同樣的，如果你不用1/3的小數(shù)形勢0.33...同Pi的有限小數(shù)形勢比如3.14159進(jìn)行四則運算,，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個數(shù)值解嗎,？沒有,！你不僅得不到一個無限右位的解，也得不到一個有限右位的解,。不是嗎,？

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 14:20
5 h1 d* x. j& \2 s3 [; W# Z% @1,。呵呵,，你的例子很有意思,。但是還是那句話,，不能作為一個定理來應(yīng)用于證明。不扯那么遠(yuǎn)的例子,，就說1和 ...

( v8 u  I! z5 \5 G' E# }& y/ Tzero大俠：

1.  故事，而且還是虛擬的故事自然不能當(dāng)定理用,�,？墒俏矣玫姆椒ㄊ强梢援�(dāng)定理用的,。

     因為我在2個集合的元素之間建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系。一一對應(yīng)準(zhǔn)則是康托爾集合論的基石,，集合論與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系我   
     就不說了,。

2.  “ 0.000....001，在1的前面有n個,，或者無限個零”,，無限個零說法是不對的,，具體見截圖--最后一位。
1 g' Z, f& k! t; `* c- \7 x$ n- k

3.  “你可以證明,，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候,，”
# X$ L1 ]0 |4 o1 Z# z      為什么要推到無限位呢,？我只要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了,，只要你給定了一個數(shù)，這個數(shù)就固定下來了,，我肯
      定能證明│ 1-0.9...│<這個數(shù),，按照實數(shù)系的阿基米德性質(zhì)，就能得到│ 1-0.9...│=0,。

4.  “你既不能通過四則運算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結(jié)論,，”
) R5 x6 V- o! R! n) f' ?      怎么不能得到差值小于另一個差值,？見截圖--實數(shù)的比較,，來自張筑生的數(shù)學(xué)分析。

      由比較規(guī)則輕松可得0.9....>0.9或0.99或0.999,。

5.   實際生活中，如果零俠有個幾萬兵馬,，我那個方法確實很難執(zhí)行；如果零俠只有幾十兵馬,，幾分鐘結(jié)果就出來了,。不過從數(shù)
      學(xué)上看,，幾十兵馬可以用這種方法判別多少？那幾萬兵馬同樣可以用這種方法判別多少,！

6.  “0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形式。因為你后面的無限位數(shù)該如何相加呢,？”
      為什么要硬加呢？無窮級數(shù)和難道是一項一項加出來的,？

7.  “那個式子的關(guān)鍵在于逐位安置,，然后逐位相加”

      逐位安置我承認(rèn)，可為什么要逐位相加呢,？理由同第6點,。

8.  “如果你不用1/3的小數(shù)形勢0.33...同Pi的有限小數(shù)形勢比如3.14159進(jìn)行四則運算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個
      數(shù)值解嗎,？”

     有一個很用力的近似計算工具,，叫逼近。數(shù)值解,，可以呀，你要精確到幾位小數(shù),？

     零俠可以回顧下人類認(rèn)識π的歷史，從周三徑一開始，雖然人們不知道π具體數(shù)值,，甚至不知道π是無理數(shù),，但已經(jīng)把π控制在
* o( g9 m2 _8 e) M# L     3~4了,，到劉徽的割圓術(shù),，就可以把π控制在很精確的范圍了；π可以逼近,，π+1/3同樣可以逼近,。