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彈性力學(xué)中的一個(gè)問題

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 樓主| 發(fā)表于 2016-5-26 14:10:47 | 只看該作者
關(guān)于我自己糾結(jié)的點(diǎn),,我已經(jīng)解決,,證明過程放出來了,。首先感謝云俠和零俠的回帖,。特別感謝一下零俠,。

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發(fā)表于 2016-5-26 19:28:37 | 只看該作者
不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-26 14:10
6 W8 C8 Z; y7 ]) F7 Z# r; C關(guān)于我自己糾結(jié)的點(diǎn),我已經(jīng)解決,,證明過程放出來了,。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠,。
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這個(gè)是沒有問題的,,只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎,d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,,如果沒有環(huán)向位移,,旋轉(zhuǎn)a'到a'',那d'就會(huì)到d'',。所以繞了一圈,,還是跟原來的物理過程是一樣的。跟單獨(dú)考慮徑向位移和環(huán)向位移再綜合是一樣的,。7 |4 h( A8 H5 C
2 @. S. ], s$ }3 |& u* J
另外樓主要注意的是,,嚴(yán)格意義上其實(shí)d'和d''不是在半徑為(r+u)的同一個(gè)圓弧上,d''是距離這個(gè)圓弧有一個(gè)小的增量,,因?yàn)槭莇r和dθ都是無窮小量,,可以認(rèn)為d'和d''在同一個(gè)圓弧上。
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: ^7 T, f% |4 \: _2 U) m$ V! d; S6 o這也是我那個(gè)數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)過程的分母直接是rdθ,,實(shí)際上嚴(yán)格意義上是點(diǎn)(r,,θ)和點(diǎn)(r+dr,θ+dθ)的距離,,是省去了高階小量,。" G: e6 ]9 ]2 \
" @! W4 `, o: U3 A
其實(shí)我那個(gè)就是純數(shù)學(xué)推導(dǎo),,只是在最后求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)用圖作了說明,(針對(duì)僅徑向位移),。
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另外我為什么強(qiáng)調(diào)單個(gè)點(diǎn)的位移意義不大,,是因?yàn)榇嬖趧傮w位移或者其他位移情況下,即使有位移,,也沒有變形,,(或者大位移,小變形),,所以我強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)變形前后位移差,。(就像這個(gè)極坐標(biāo)下,所有點(diǎn)繞著軸線旋轉(zhuǎn),,有位移,,無應(yīng)變)。
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; k; j1 h# e( l另外這些方程都是針對(duì)小變形,,10的負(fù)幾次方的量級(jí),。對(duì)于大變形,比如橡膠之類物質(zhì),,就不是這樣的方程,。
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 樓主| 發(fā)表于 2016-5-26 20:08:02 | 只看該作者
云制造 發(fā)表于 2016-5-26 19:28" B9 C, R# S- b5 R; @, G
這個(gè)是沒有問題的,只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎,,d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,,如果沒有環(huán)向位移,旋轉(zhuǎn)a'到a'' ...
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我一直也說,,理解這個(gè)借助物理模型和不借助都得一樣,,而我一直只想從應(yīng)變的最基本定義來推倒,過程中我旋轉(zhuǎn)只是借助一種數(shù)學(xué)方式來計(jì)算這個(gè),。
0 g! W& J1 J9 n: [/ V大俠有一點(diǎn)錯(cuò)誤,,并不是(r,sita)和(r+dr, Sita+d Sita)的距離,,而是和(r,,sita+d sita),dr和dsita是定義這個(gè)微單元的微小量,。
8 Y9 T! p# @% L* p% W6 L四個(gè)點(diǎn),,變形前坐標(biāo)是(r,sita),,(r,,sita+dsita),(r+dr,,sita),,(r+dr,,sita+dsita)( }8 Q: J# g( q: b, K8 O
變形后(r+u,sita+a),,(r+u+X,,sita+a+b),(r+u+dr,,sita+a),,(r+u+dr+X,sita+a+b),,其中X是u對(duì)sita的偏導(dǎo)數(shù)乘以dsita,,a是點(diǎn)a轉(zhuǎn)過的角度,b是變形后dsita的增加的角度,,嚴(yán)格來說前后角度也是不一樣的,。而這也是建立在忽略ab邊的剪切角,,這個(gè)是因?yàn)関對(duì)r的偏導(dǎo)數(shù)乘以dr產(chǎn)生的,,之所以忽略是因?yàn)檫@些都是高階微量。其實(shí)同樣的,,滿復(fù)雜的我也已經(jīng)證明,,只不過圖太亂,不好看清,。
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 樓主| 發(fā)表于 2016-5-26 20:20:28 | 只看該作者
本帖最后由 不懂的太多xx 于 2016-5-26 20:39 編輯
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云制造 發(fā)表于 2016-5-26 19:28+ u0 C% Z* f( \; ]9 [1 f2 g
這個(gè)是沒有問題的,,只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎,d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,,如果沒有環(huán)向位移,,旋轉(zhuǎn)a'到a'' ...

* U; T7 E' X* A3 u( h大俠用v(r+dr,sita+dsita)-v(r,,sita)表示ad線段的伸長(zhǎng)量有點(diǎn)突兀,。從你的第一個(gè)公式來看,你是想求應(yīng)變,,分母是rdsita,,但是分子確實(shí)c點(diǎn)環(huán)向位移減去a點(diǎn)環(huán)向位移,分子表示的還是ad線段的伸長(zhǎng)量,,兩個(gè)點(diǎn)還不在微單元的任何一個(gè)邊上,,這個(gè)得需要證明。
7 f) x8 r' F- I2 o大俠v對(duì)sita的偏導(dǎo)數(shù)求解沒有任何問題,。& I. t5 P5 p" E5 }9 p" _' U' T
關(guān)于這個(gè)理解,,我想問大俠一個(gè)問題,對(duì)于在笛卡爾坐標(biāo)系下的長(zhǎng)方體微單元和極坐標(biāo)下的微單元,,關(guān)于應(yīng)變的算法和表示的意義,。在笛卡爾下,,左右兩邊線段的伸長(zhǎng)都可以表示y向應(yīng)變;在極坐標(biāo)下用ad線段應(yīng)變代表環(huán)向應(yīng)變,,有沒有想過用bc線段應(yīng)變代表環(huán)向應(yīng)變,,兩者是否相同,有沒有算過,?為什么書中用ad線段表示,,而不用bc線段表示?; K" g0 p5 g, g0 C, g. d
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發(fā)表于 2016-5-27 09:04:06 | 只看該作者
不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-26 20:08
6 V, o8 ]! m; f* i9 t7 V4 U我一直也說,,理解這個(gè)借助物理模型和不借助都得一樣,,而我一直只想從應(yīng)變的最基本定義來推倒,過程中我旋 ...
) |# ]' \6 F6 p
不是 4個(gè)點(diǎn),,我推導(dǎo)過程就是在(r,,θ)點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)就用(r+dr,,θ+dθ)表示,,就像y=f(x),求它的導(dǎo)數(shù)就是x=x0附件取一個(gè)點(diǎn),,這個(gè)點(diǎn)的位置是x0+Δx,,增量是Δy。所以我的那個(gè)式子表示,,(r,,θ)和(r+dr,θ+dθ)之間v的增量Δv,,除以原始的兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度rdθ(忽略高階小量),。. v  Q; v6 n. o2 E4 E& _7 V
! \" m1 u* t$ A2 z) E: ~
另外你問的,ad和bc,,其實(shí)就是偽命題,。你自己推導(dǎo)的過程切應(yīng)變用的ad線段,而不是是取微元體,,其實(shí)ad可以任意取,,ad也可以取在bc的位置。另外要有這個(gè)概念,,這個(gè)時(shí)候的ad和bc其實(shí)是非常近的,,只不過畫圖作為說明,把距離劃的很大,,好像兩處的應(yīng)變不一樣,。應(yīng)變是有連續(xù)性的,不會(huì)在一點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)有突變,bc是無限接近ad,,(微元體到底有多微,?要有極限的場(chǎng)景理解),其實(shí)既然是取微元體,,就可以認(rèn)為在微元體內(nèi)的量是常量(或者可以認(rèn)為取的微元體的平均量),,如果還認(rèn)為比如長(zhǎng)方形微元體的正應(yīng)變沿著斜邊不是常量,就沒必要,。即使有細(xì)微的變化,,也是高階小量。所以你說的ad和bc的區(qū)別就是偽命題,。/ z" t3 ]8 P/ q3 l/ Z

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 樓主| 發(fā)表于 2016-5-27 11:21:18 | 只看該作者
云制造 發(fā)表于 2016-5-27 09:04
" a4 m, H3 T# Z不是 4個(gè)點(diǎn),,我推導(dǎo)過程就是在(r,θ)點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn),,這個(gè)點(diǎn)就用(r+dr,,θ+dθ)表示,就像y=f(x) ...
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4 I! G. l" ]) }+ J8 [首先,,應(yīng)變都是針對(duì)單元體來的,,單元體的某個(gè)方向的應(yīng)變(比如y向),則是用線段的伸長(zhǎng)量除以原始長(zhǎng)度得來的,,這是最初的應(yīng)變定義,。我一直說從應(yīng)變的基礎(chǔ)定義來證明計(jì)算,。就是先切的微元體,,然后求的微元體的某條邊的伸長(zhǎng)量。: n" v2 l5 J' ]& h" [
彈性力學(xué),,計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變都會(huì)說取一個(gè)微單元,,之后計(jì)算該微單元的某向線段兩點(diǎn)的位移,計(jì)算應(yīng)變,。大俠取的(r+dr,,θ+dθ)和(r,θ)兩點(diǎn),,數(shù)學(xué)角度的基本定義咱沒必要說,,大俠用的是全微分和斜率。就說從力學(xué)角度,,這兩個(gè)點(diǎn)表示的是哪個(gè)微單元中的哪個(gè)線段,?我的意思是這個(gè)要弄清楚,先確定一個(gè)用來表示線段的數(shù)學(xué)模型,。ε=δ/L,,這是力學(xué)中的計(jì)算應(yīng)變的最基本模型,大俠當(dāng)中的δ是哪一個(gè)?L是哪一個(gè),?從這個(gè)模型配對(duì)來類推,,大俠的δ是v(r+dr,θ+dθ)-v(r,,θ),,L是rdθ。
" p  {" i) T' Z9 J$ x位移函數(shù)是原始坐標(biāo)的函數(shù),,v(r+dr,,θ+dθ)是(r+dr,θ+dθ)處的位移,,v(r,,θ)是(r,θ)處的位移,。若想用ε=δ/L這個(gè)模型,,對(duì)a點(diǎn)取的這個(gè)微單元來說,徑向應(yīng)變只能用ab線段,,切向應(yīng)變只能用ad線段,。而大俠的v(r+dr,θ+dθ)-v(r,,θ)表示的又是哪一個(gè),?' s1 @+ c2 i7 z) \+ ]) t( g- ?, k
大俠用的全微分,表示的是在a點(diǎn)切向位移v對(duì)r和θ的全微分(也就是v的增量),,而只是針對(duì)v這個(gè)二元函數(shù),,該點(diǎn)的微增量;這一步是單純從v函數(shù)來求解的,。而后面除以的rdθ又是從極坐標(biāo)中的兩點(diǎn)計(jì)算來的,,先不管別的(這個(gè)別的我后面),順著你的思路,,兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度是多少,?是(rdθ)2+(dr)2在開方。這個(gè)存在質(zhì)疑,。
" \5 v% D/ `4 t) I1 V現(xiàn)在說那個(gè)‘別的’,,證明應(yīng)該有兩種:1、純數(shù)學(xué)證明,,完全用v函數(shù)來證明,;2、在極坐標(biāo)中,,用線段的伸長(zhǎng)量來證明,。大俠這個(gè)證明,,v的增量用的是v函數(shù)的全微分,前面的思路是用函數(shù)來求該點(diǎn)的增量,,后面又轉(zhuǎn)到兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度(極坐標(biāo))下,,我覺得這樣不嚴(yán)謹(jǐn)。大俠既然想用函數(shù)證明,,就應(yīng)該徹底的用該點(diǎn)的函數(shù)證明,,先增量,后在一個(gè)三維坐標(biāo)系中描述出該點(diǎn)的位置,,計(jì)算微段斜率,,利用斜率來計(jì)算應(yīng)變。9 I$ M: |+ M) x+ U; j. p
再就是ab和bc的問題,,微積分這門數(shù)學(xué)的基本思路,,相信大家都知道,咱們暫時(shí)不討論這個(gè),。力學(xué)取微單元的基本假設(shè):?jiǎn)卧獌?nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變都是均勻分布的,,這個(gè)相信大家也都知道。就說在極坐標(biāo)中的微單元,,不管多微小,,在計(jì)算過程中ad和bc就是不一樣,因?yàn)樽宰兞渴?font face="Tahoma">θ角度,。而兩個(gè)長(zhǎng)度不一樣,,在用兩個(gè)線段算應(yīng)變的時(shí)候就是不一樣。
! `  Y6 x& H7 W/ K; `# X理論上應(yīng)變是連續(xù)的,,從推出來的應(yīng)變公式表象上看,,取ab邊和取bc是不同的,但最終求的是a這個(gè)質(zhì)點(diǎn)處的單元體的應(yīng)變,,所以最終應(yīng)該是相同的,。我提這個(gè)問題,,只是想說應(yīng)該從線段伸長(zhǎng)量來證明(就是應(yīng)變的基礎(chǔ)定義),。: C0 O- z* G+ ^  T" K
27#
 樓主| 發(fā)表于 2016-5-27 11:33:48 | 只看該作者
云制造 發(fā)表于 2016-5-27 09:04+ V* Y* S" N' K3 S# T' U# A
不是 4個(gè)點(diǎn),我推導(dǎo)過程就是在(r,,θ)點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn),,這個(gè)點(diǎn)就用(r+dr,θ+dθ)表示,,就像y=f(x) ...
# r4 p* Q. `  e1 F3 m: y
與大俠討論挺好,,大俠還可以對(duì)兩個(gè)問題說說自己得看法。
: e1 ?9 }3 r! C/ `* z# r* d2 G9 j( U1,、力學(xué)中,,單元體的每個(gè)對(duì)稱的正應(yīng)力和切應(yīng)力是相等的;在推倒靜力平衡方程時(shí),具有相同法線的兩個(gè)面的正應(yīng)力和切應(yīng)力則不相等,。兩者都是取的某點(diǎn)處的微單元,,大俠可否說說自己對(duì)這兩者的看法以及這兩者應(yīng)該用在什么地方?! l7 k& ]; K* s) `, `
2,、大俠看下面截圖中,,三角棱形體的體力可以忽略,而長(zhǎng)方體的體力不可忽略,,這又是為何,?$ m6 @: S$ }; \
大俠發(fā)表一下自己的認(rèn)識(shí)。
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