彈性力學(xué)中的一個(gè)問題

不懂的太多xx

這兩天重溫彈性力學(xué),，又把之前沒解決的問題給想起來了，連著三四天自己沒法給出解釋,，陷進(jìn)黑洞自己出不來了,，睡覺都不香了，現(xiàn)在求大俠抽醒,。
極坐標(biāo)下的應(yīng)變問題,，
' |" C# _$ y7 z& D圖中的這個(gè)環(huán)向的應(yīng)變，大俠們肯定都知道。現(xiàn)在就是前面"v/r”這部分應(yīng)變問題,。照本宣科,，照書的方式理解沒有問題。
但就我自己想,，想出問題來了,。位移函數(shù)v是r和θ的函數(shù)，a點(diǎn)的環(huán)向位移v（a）=v(r,θ),，d點(diǎn)的環(huán)向位移v（d）=v（r,，θ+dθ），dv按第二個(gè)圖,。

: K: m. Y, c) X" U7 h  C+ s這建立在位移函數(shù)的r和θ的兩個(gè)變量是沒有變形前的坐標(biāo),，在沒有變形前a的坐標(biāo)就是(r,θ)，d點(diǎn)的坐標(biāo)就是（r,，θ+dθ）,，兩點(diǎn)的變化只有dθ的變化。
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難道是我認(rèn)識(shí)出錯(cuò)誤了,，位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo),？既如此，dv應(yīng)該是第三個(gè)圖,。
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也是沒有v/r項(xiàng),。
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1 J6 t. M- |, J" y照書中理解，這個(gè)環(huán)向位移是坐標(biāo)點(diǎn)v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）倆點(diǎn)引起的弧長(zhǎng)差，這兩個(gè)坐標(biāo)一個(gè)是變形前的圓盤a的坐標(biāo),，一個(gè)是變形后的圓盤d點(diǎn)的坐標(biāo),。
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' z0 _; A: w6 K* x) R矛盾點(diǎn)是，單從函數(shù)v(r,θ)上說,，無(wú)論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標(biāo),，還是變形后圓盤定的坐標(biāo)，dv都沒有v/r,，除非一個(gè)是變形后的坐標(biāo)一個(gè)是變形前的坐標(biāo),。求大俠把我從牛角尖里拉出來。

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補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-5-24 09:00):
) P- S5 f' S2 F& x2 |發(fā)帖,，錯(cuò)把u/r打成v/r,。

補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-5-27 12:31):
糾結(jié)已經(jīng)解決

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照書中理解,，這個(gè)環(huán)向位移是坐標(biāo)點(diǎn)v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）倆點(diǎn)引起的弧長(zhǎng)差，這兩個(gè)坐標(biāo)一個(gè)是變形前的圓盤a的坐標(biāo),，一個(gè)是變形后的圓盤d點(diǎn)的坐標(biāo),。
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' l4 [# O, u! |1 D3 h% O你這個(gè)就理解錯(cuò)誤了，沒弄懂書中意思,。環(huán)向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點(diǎn)變形后的弧長(zhǎng)差,。

位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo)？這個(gè)你也理解錯(cuò)了,，位移函數(shù)描述的是變形的大小,，跟變形后的坐標(biāo)沒有關(guān)系，要有關(guān)系也是一個(gè)點(diǎn)變形后的坐標(biāo)是原始坐標(biāo)加上位移函數(shù)的值

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兩點(diǎn)的長(zhǎng)度變化是dv,，原始長(zhǎng)度是rdθ，所以只有環(huán)向位移引起的應(yīng)變?yōu)閐v/rdθ,，不知道樓主糾結(jié)的v/r,，在哪里出現(xiàn)？

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如果是圖上的v/r,，這只是表示一個(gè)點(diǎn)的切向角度變化,。跟切向應(yīng)變不是一回事。因?yàn)閞dθ=v

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v/r只是表示每一個(gè)點(diǎn)的角度位移,，就是說,，每個(gè)點(diǎn)移動(dòng)了多少度。v=2πr,，說明一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了一周,，樓主說過的 v/r”這部分應(yīng)變問題，理解就錯(cuò)了,，這不是應(yīng)變,。跟徑向應(yīng)變一樣，要求的是兩點(diǎn)變形前后的長(zhǎng)度差,，而不是一個(gè)點(diǎn)的位移，如果兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)位移為du,，應(yīng)變就是0,。不要將位移和應(yīng)變混為一談。比如剛體位移,，就沒有應(yīng)變,。

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云制造 發(fā)表于 2016-5-24 08:46
如果是圖上的v/r,，這只是表示一個(gè)點(diǎn)的切向角度變化,。跟切向應(yīng)變不是一回事。因?yàn)閞dθ=v

u/r不是很好理解嗎,，只有徑向位移u,，則兩點(diǎn)都沿著原來不變的角度移動(dòng)u，則r就變成了r+u,，這個(gè)時(shí)候,，兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)，不就是（r+u）dθ,，而原來兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)是rdθ,，所以應(yīng)變是兩者之間的差值再除以rdθ，就是u/r
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樓主要用物理場(chǎng)景來理解,，有物理場(chǎng)景,，能更好的理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。這個(gè)極坐標(biāo)應(yīng)變應(yīng)該是很好理解的,。你說的u/r,。就想象是一個(gè)固定頂角（dθ）的三角形，而三角形的底邊在向外移動(dòng)的過程（就是u增大）,，是不是底邊會(huì)不斷拉長(zhǎng),，應(yīng)變不斷增大

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底邊不斷拉長(zhǎng)，應(yīng)變不斷增大,。就是切向應(yīng)變不斷增大,。三角形的底邊長(zhǎng)就是切向的長(zhǎng)

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 09:03
% [6 {; ?! M* I2 O$ W/ p8 k  ]# ^u/r不是很好理解嗎,，只有徑向位移u，則兩點(diǎn)都沿著原來不變的角度移動(dòng)u,，則r就變成了r+u,，這個(gè)時(shí)候，兩點(diǎn) ...

我知道按書理解可以理解,，帖子中我也說明了,，書中的理解方式清楚。
咱們換一個(gè)方式,，環(huán)向位移V是關(guān)于r和θ的函數(shù),，r和θ是原始坐標(biāo)（沒有加載荷的時(shí)候）,。經(jīng)過平衡條件、邊界條件,、相容條件,，我們可以把應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)都推導(dǎo)出來，關(guān)于r和θ的函數(shù)（注意,，r和θ是原始坐標(biāo)）,。
假設(shè)環(huán)向位移函數(shù)V=v（r，θ）,，分別帶入d點(diǎn)和a點(diǎn)的坐標(biāo),，那么d點(diǎn)處的環(huán)向位移Vd=v（r，θ+dθ）,，a點(diǎn)處的環(huán)向位移Va=v（r,，θ）。那么弧長(zhǎng)ad的增長(zhǎng)量δ=Vd-Va=v（r,，θ+dθ）-v（r,，θ），應(yīng)變?chǔ)?δ/rdθ
4 H  h( x: ]" c- Wδ=Vd-Va=v（r,，θ+dθ）-v（r,，θ）=（v對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)）*dθ（帖子中打不出來偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)，我就暫時(shí)用Χ表示該偏導(dǎo)數(shù)）=Χdθ
那么總應(yīng)變?chǔ)?Χ/r,，其中并不包括u/r,。
這是建立在r和θ原始坐標(biāo)，假設(shè)位移函數(shù)V情況下,，從偏導(dǎo)數(shù)定義推出來的,。
' ?7 p8 S/ d4 S3 ~7 W3 E1 ~% ?% z因此，這個(gè)時(shí)候我就假設(shè)的把V看成是r和θ變形后的函數(shù),，這樣推出來也不對(duì),。（帖子中的第二步）
' |2 K2 O7 j1 J0 o3 a$ ]若想包括u/r這一項(xiàng)，單獨(dú)的從環(huán)向位移函數(shù)V的偏導(dǎo)數(shù)中我找不出來,，我就試一下全微分,，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點(diǎn)的弧長(zhǎng)差的想法,，但是這個(gè)一個(gè)是變形前的坐標(biāo)參照,，一個(gè)是變形后的，肯定不對(duì),。這就是我現(xiàn)在的矛盾點(diǎn)，腦子繞在這里出不來了,。
5 k3 G; B+ f4 M! q6 [. \不知道大俠看懂我的矛盾點(diǎn)了沒,？
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不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解嗎,，只有徑向位移u，則兩點(diǎn)都沿著原來不變的角度移動(dòng)u,，則r就變成了r+u,，這個(gè)時(shí)候，兩點(diǎn) ...

* `4 @* B2 `3 x) K. v& p% a: ~5 h0 y; b, L再補(bǔ)充一下,，我們知道一個(gè)函數(shù)V=v（r,，θ），這個(gè)函數(shù)表示的是位移,，現(xiàn)在求a點(diǎn)（r,，θ）和d點(diǎn)（r，θ+dθ）兩點(diǎn)的位移,，怎么求,？帶進(jìn)去，分別是v（r,，θ）和v（r,，θ+dθ）
8 z# P# l1 I; }# T1 t那這兩點(diǎn)的函數(shù)之差（位移之差）怎么求？v（r,，θ+dθ）-v（r,，θ）=Χdθ。,。,。。,。Χ表示v對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)
這個(gè)位移之差是什么,？變形量δ。
應(yīng)變ε=δ/rdθ=Χ/r,。不包含u/r項(xiàng),。

這是在已知函數(shù)V的情況下

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