彈性力學(xué)中的一個(gè)問題

不懂的太多xx

關(guān)于我自己糾結(jié)的點(diǎn),，我已經(jīng)解決，證明過程放出來了,。首先感謝云俠和零俠的回帖,。特別感謝一下零俠。

云制造

不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-26 14:10
關(guān)于我自己糾結(jié)的點(diǎn)，我已經(jīng)解決,，證明過程放出來了,。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠,。

% a4 P4 j) n2 N! E. c" s這個(gè)是沒有問題的,，只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎，d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,，如果沒有環(huán)向位移,，旋轉(zhuǎn)a'到a''，那d'就會(huì)到d'',。所以繞了一圈,，還是跟原來的物理過程是一樣的。跟單獨(dú)考慮徑向位移和環(huán)向位移再綜合是一樣的,。

另外樓主要注意的是,，嚴(yán)格意義上其實(shí)d'和d''不是在半徑為(r+u)的同一個(gè)圓弧上，d''是距離這個(gè)圓弧有一個(gè)小的增量,，因?yàn)槭莇r和dθ都是無窮小量,，可以認(rèn)為d'和d''在同一個(gè)圓弧上。
4 x) l4 s' C, g7 c) o
這也是我那個(gè)數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)過程的分母直接是rdθ,，實(shí)際上嚴(yán)格意義上是點(diǎn)（r,，θ）和點(diǎn)（r+dr，θ+dθ）的距離,，是省去了高階小量,。

/ j- P8 |+ t! ?5 H其實(shí)我那個(gè)就是純數(shù)學(xué)推導(dǎo),，只是在最后求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)用圖作了說明，（針對(duì)僅徑向位移）,。

另外我為什么強(qiáng)調(diào)單個(gè)點(diǎn)的位移意義不大,，是因?yàn)榇嬖趧傮w位移或者其他位移情況下，即使有位移,，也沒有變形,，（或者大位移，小變形）,，所以我強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)變形前后位移差,。（就像這個(gè)極坐標(biāo)下，所有點(diǎn)繞著軸線旋轉(zhuǎn),，有位移,，無應(yīng)變）。

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另外這些方程都是針對(duì)小變形,，10的負(fù)幾次方的量級(jí),。對(duì)于大變形，比如橡膠之類物質(zhì),，就不是這樣的方程,。

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不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-26 19:28
9 a: D& v' R( }. c這個(gè)是沒有問題的，只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎,，d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,，如果沒有環(huán)向位移，旋轉(zhuǎn)a'到a'' ...

我一直也說,，理解這個(gè)借助物理模型和不借助都得一樣,，而我一直只想從應(yīng)變的最基本定義來推倒，過程中我旋轉(zhuǎn)只是借助一種數(shù)學(xué)方式來計(jì)算這個(gè),。
2 K% r) M/ [0 m大俠有一點(diǎn)錯(cuò)誤,，并不是（r，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距離,，而是和（r,，sita+d sita），dr和dsita是定義這個(gè)微單元的微小量,。
( V+ v: a8 _4 r" H8 }四個(gè)點(diǎn),，變形前坐標(biāo)是（r，sita）,，（r,，sita+dsita），（r+dr，sita）,，（r+dr,，sita+dsita）
變形后（r+u，sita+a）,，（r+u+X,，sita+a+b），（r+u+dr,，sita+a）,，（r+u+dr+X,，sita+a+b）,，其中X是u對(duì)sita的偏導(dǎo)數(shù)乘以dsita，a是點(diǎn)a轉(zhuǎn)過的角度,，b是變形后dsita的增加的角度,，嚴(yán)格來說前后角度也是不一樣的。而這也是建立在忽略ab邊的剪切角,，這個(gè)是因?yàn)関對(duì)r的偏導(dǎo)數(shù)乘以dr產(chǎn)生的,，之所以忽略是因?yàn)檫@些都是高階微量。其實(shí)同樣的,，滿復(fù)雜的我也已經(jīng)證明,，只不過圖太亂，不好看清,。

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-26 19:28
: @9 s! a1 O2 Z" b, C5 G這個(gè)是沒有問題的,，只不過相當(dāng)于樓主繞了個(gè)彎，d''d'''其實(shí)就是環(huán)向位移,，如果沒有環(huán)向位移,，旋轉(zhuǎn)a'到a'' ...

大俠用v（r+dr，sita+dsita）-v（r,，sita）表示ad線段的伸長量有點(diǎn)突兀,。從你的第一個(gè)公式來看，你是想求應(yīng)變,，分母是rdsita,，但是分子確實(shí)c點(diǎn)環(huán)向位移減去a點(diǎn)環(huán)向位移，分子表示的還是ad線段的伸長量,，兩個(gè)點(diǎn)還不在微單元的任何一個(gè)邊上,，這個(gè)得需要證明。
大俠v對(duì)sita的偏導(dǎo)數(shù)求解沒有任何問題,。
關(guān)于這個(gè)理解,，我想問大俠一個(gè)問題，對(duì)于在笛卡爾坐標(biāo)系下的長方體微單元和極坐標(biāo)下的微單元，關(guān)于應(yīng)變的算法和表示的意義,。在笛卡爾下,，左右兩邊線段的伸長都可以表示y向應(yīng)變；在極坐標(biāo)下用ad線段應(yīng)變代表環(huán)向應(yīng)變,，有沒有想過用bc線段應(yīng)變代表環(huán)向應(yīng)變,，兩者是否相同，有沒有算過,？為什么書中用ad線段表示,，而不用bc線段表示？

云制造

不懂的太多xx 發(fā)表于 2016-5-26 20:08
4 p$ }) n. t) j  G& }我一直也說,，理解這個(gè)借助物理模型和不借助都得一樣,，而我一直只想從應(yīng)變的最基本定義來推倒，過程中我旋 ...

" d0 g' v6 j+ f) w% L不是 4個(gè)點(diǎn),，我推導(dǎo)過程就是在（r,，θ）點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就用（r+dr,，θ+dθ）表示,，就像y=f（x），求它的導(dǎo)數(shù)就是x=x0附件取一個(gè)點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)的位置是x0+Δx,，增量是Δy。所以我的那個(gè)式子表示,，（r,，θ）和（r+dr，θ+dθ）之間v的增量Δv,，除以原始的兩點(diǎn)之間的長度rdθ（忽略高階小量）,。

1 f0 }! ^" c# E" a7 z) i! |另外你問的，ad和bc,，其實(shí)就是偽命題,。你自己推導(dǎo)的過程切應(yīng)變用的ad線段，而不是是取微元體,，其實(shí)ad可以任意取,，ad也可以取在bc的位置。另外要有這個(gè)概念,，這個(gè)時(shí)候的ad和bc其實(shí)是非常近的,，只不過畫圖作為說明，把距離劃的很大,，好像兩處的應(yīng)變不一樣,。應(yīng)變是有連續(xù)性的,，不會(huì)在一點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)有突變，bc是無限接近ad,，（微元體到底有多微,？要有極限的場(chǎng)景理解），其實(shí)既然是取微元體,，就可以認(rèn)為在微元體內(nèi)的量是常量（或者可以認(rèn)為取的微元體的平均量）,，如果還認(rèn)為比如長方形微元體的正應(yīng)變沿著斜邊不是常量，就沒必要,。即使有細(xì)微的變化,，也是高階小量。所以你說的ad和bc的區(qū)別就是偽命題,。
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不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-27 09:04
不是 4個(gè)點(diǎn),，我推導(dǎo)過程就是在（r，θ）點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)就用（r+dr,，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

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首先,，應(yīng)變都是針對(duì)單元體來的，單元體的某個(gè)方向的應(yīng)變（比如y向）,，則是用線段的伸長量除以原始長度得來的,，這是最初的應(yīng)變定義。我一直說從應(yīng)變的基礎(chǔ)定義來證明計(jì)算,。就是先切的微元體,，然后求的微元體的某條邊的伸長量。
  u" Q4 ^! B' y* T4 ^彈性力學(xué),，計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變都會(huì)說取一個(gè)微單元,，之后計(jì)算該微單元的某向線段兩點(diǎn)的位移，計(jì)算應(yīng)變,。大俠取的（r+dr,，θ+dθ）和（r，θ）兩點(diǎn),，數(shù)學(xué)角度的基本定義咱沒必要說,，大俠用的是全微分和斜率。就說從力學(xué)角度,，這兩個(gè)點(diǎn)表示的是哪個(gè)微單元中的哪個(gè)線段,？我的意思是這個(gè)要弄清楚，先確定一個(gè)用來表示線段的數(shù)學(xué)模型,。ε=δ/L,，這是力學(xué)中的計(jì)算應(yīng)變的最基本模型,，大俠當(dāng)中的δ是哪一個(gè)？L是哪一個(gè),？從這個(gè)模型配對(duì)來類推,，大俠的δ是v（r+dr，θ+dθ）-v（r,，θ）,，L是rdθ。
位移函數(shù)是原始坐標(biāo)的函數(shù),，v（r+dr,，θ+dθ）是（r+dr，θ+dθ）處的位移,，v（r,，θ）是（r，θ）處的位移,。若想用ε=δ/L這個(gè)模型,，對(duì)a點(diǎn)取的這個(gè)微單元來說，徑向應(yīng)變只能用ab線段,，切向應(yīng)變只能用ad線段,。而大俠的v（r+dr，θ+dθ）-v（r,，θ）表示的又是哪一個(gè),？
大俠用的全微分，表示的是在a點(diǎn)切向位移v對(duì)r和θ的全微分（也就是v的增量）,，而只是針對(duì)v這個(gè)二元函數(shù),，該點(diǎn)的微增量；這一步是單純從v函數(shù)來求解的,。而后面除以的rdθ又是從極坐標(biāo)中的兩點(diǎn)計(jì)算來的,，先不管別的（這個(gè)別的我后面），順著你的思路,，兩點(diǎn)之間的長度是多少,？是(rdθ)2+(dr)2在開方。這個(gè)存在質(zhì)疑,。
現(xiàn)在說那個(gè)‘別的’,，證明應(yīng)該有兩種：1、純數(shù)學(xué)證明,，完全用v函數(shù)來證明,；2、在極坐標(biāo)中,，用線段的伸長量來證明,。大俠這個(gè)證明,，v的增量用的是v函數(shù)的全微分，前面的思路是用函數(shù)來求該點(diǎn)的增量,，后面又轉(zhuǎn)到兩點(diǎn)之間線段的長度（極坐標(biāo)）下,，我覺得這樣不嚴(yán)謹(jǐn)。大俠既然想用函數(shù)證明,，就應(yīng)該徹底的用該點(diǎn)的函數(shù)證明,，先增量，后在一個(gè)三維坐標(biāo)系中描述出該點(diǎn)的位置,，計(jì)算微段斜率,，利用斜率來計(jì)算應(yīng)變。
# `% s$ ?/ ^/ w! }5 [. }: Z. e, x再就是ab和bc的問題,，微積分這門數(shù)學(xué)的基本思路,，相信大家都知道，咱們暫時(shí)不討論這個(gè),。力學(xué)取微單元的基本假設(shè)：單元內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變都是均勻分布的,，這個(gè)相信大家也都知道。就說在極坐標(biāo)中的微單元,，不管多微小,，在計(jì)算過程中ad和bc就是不一樣，因?yàn)樽宰兞渴?font face="Tahoma">θ角度,。而兩個(gè)長度不一樣,，在用兩個(gè)線段算應(yīng)變的時(shí)候就是不一樣。
理論上應(yīng)變是連續(xù)的,，從推出來的應(yīng)變公式表象上看，取ab邊和取bc是不同的,，但最終求的是a這個(gè)質(zhì)點(diǎn)處的單元體的應(yīng)變,，所以最終應(yīng)該是相同的。我提這個(gè)問題,，只是想說應(yīng)該從線段伸長量來證明（就是應(yīng)變的基礎(chǔ)定義）,。

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-27 09:04
* L( i; p' G( e) l2 |& X不是 4個(gè)點(diǎn)，我推導(dǎo)過程就是在（r,，θ）點(diǎn)附件取一個(gè)點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)就用（r+dr，θ+dθ）表示,，就像y=f（x） ...

' I; i. C- e. a1 u2 D3 r與大俠討論挺好,，大俠還可以對(duì)兩個(gè)問題說說自己得看法。
, M, U. T: @- X) s1,、力學(xué)中,，單元體的每個(gè)對(duì)稱的正應(yīng)力和切應(yīng)力是相等的,；在推倒靜力平衡方程時(shí)，具有相同法線的兩個(gè)面的正應(yīng)力和切應(yīng)力則不相等,。兩者都是取的某點(diǎn)處的微單元,，大俠可否說說自己對(duì)這兩者的看法以及這兩者應(yīng)該用在什么地方？
2,、大俠看下面截圖中,，三角棱形體的體力可以忽略，而長方體的體力不可忽略,，這又是為何,？
大俠發(fā)表一下自己的認(rèn)識(shí)。
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