彈性力學(xué)中的一個問題

不懂的太多xx

這兩天重溫彈性力學(xué),，又把之前沒解決的問題給想起來了,，連著三四天自己沒法給出解釋，陷進(jìn)黑洞自己出不來了，睡覺都不香了，現(xiàn)在求大俠抽醒,。
極坐標(biāo)下的應(yīng)變問題，
$ H9 I3 W* C2 T+ B. a! Q圖中的這個環(huán)向的應(yīng)變,，大俠們肯定都知道�,，F(xiàn)在就是前面"v/r”這部分應(yīng)變問題。照本宣科,，照書的方式理解沒有問題,。
但就我自己想，想出問題來了,。位移函數(shù)v是r和θ的函數(shù),，a點的環(huán)向位移v（a）=v(r,θ),，d點的環(huán)向位移v（d）=v（r,，θ+dθ），dv按第二個圖,。

  a; d5 q7 P6 x5 ^; T  H! {這建立在位移函數(shù)的r和θ的兩個變量是沒有變形前的坐標(biāo),，在沒有變形前a的坐標(biāo)就是(r,θ)，d點的坐標(biāo)就是（r,，θ+dθ）,，兩點的變化只有dθ的變化。

難道是我認(rèn)識出錯誤了,，位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo),？既如此，dv應(yīng)該是第三個圖,。

也是沒有v/r項,。
6 c  I1 x  h8 K$ q! D
照書中理解，這個環(huán)向位移是坐標(biāo)點v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）倆點引起的弧長差,，這兩個坐標(biāo)一個是變形前的圓盤a的坐標(biāo)，一個是變形后的圓盤d點的坐標(biāo)。

矛盾點是,，單從函數(shù)v(r,θ)上說,，無論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標(biāo)，還是變形后圓盤定的坐標(biāo),，dv都沒有v/r,，除非一個是變形后的坐標(biāo)一個是變形前的坐標(biāo)。求大俠把我從牛角尖里拉出來,。
; \* R0 s& h6 v4 o; G4 {# A1 ^  r
& |  P: U% s3 m3 r+ ^: U
- m* Z8 R9 I2 D# l# o5 r1 c補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-5-24 09:00):
發(fā)帖,，錯把u/r打成v/r。

; D( o$ c" q% @/ |補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-5-27 12:31):
) V- ?: H: t% m1 b& Z0 {糾結(jié)已經(jīng)解決

云制造

照書中理解，這個環(huán)向位移是坐標(biāo)點v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）倆點引起的弧長差,，這兩個坐標(biāo)一個是變形前的圓盤a的坐標(biāo)，一個是變形后的圓盤d點的坐標(biāo),。

你這個就理解錯誤了,，沒弄懂書中意思。環(huán)向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點變形后的弧長差,。

位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo),？這個你也理解錯了，位移函數(shù)描述的是變形的大小,，跟變形后的坐標(biāo)沒有關(guān)系,，要有關(guān)系也是一個點變形后的坐標(biāo)是原始坐標(biāo)加上位移函數(shù)的值
7 `3 D, H/ X/ V+ x5 p2 w

云制造

兩點的長度變化是dv，原始長度是rdθ,，所以只有環(huán)向位移引起的應(yīng)變?yōu)閐v/rdθ,，不知道樓主糾結(jié)的v/r，在哪里出現(xiàn),？

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如果是圖上的v/r,，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應(yīng)變不是一回事,。因為rdθ=v

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v/r只是表示每一個點的角度位移,，就是說,，每個點移動了多少度。v=2πr,，說明一個點旋轉(zhuǎn)了一周,，樓主說過的 v/r”這部分應(yīng)變問題,，理解就錯了，這不是應(yīng)變,。跟徑向應(yīng)變一樣,，要求的是兩點變形前后的長度差，而不是一個點的位移,，如果兩個點同時位移為du,，應(yīng)變就是0。不要將位移和應(yīng)變混為一談,。比如剛體位移,，就沒有應(yīng)變。

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云制造 發(fā)表于 2016-5-24 08:46
1 a6 }! g+ |$ F( J6 O如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化,。跟切向應(yīng)變不是一回事,。因為rdθ=v

u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u,，則兩點都沿著原來不變的角度移動u,，則r就變成了r+u，這個時候,，兩點之間的弧長,，不就是（r+u）dθ，而原來兩點之間的弧長是rdθ,，所以應(yīng)變是兩者之間的差值再除以rdθ,，就是u/r

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樓主要用物理場景來理解，有物理場景,，能更好的理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程,。這個極坐標(biāo)應(yīng)變應(yīng)該是很好理解的。你說的u/r,。就想象是一個固定頂角（dθ）的三角形,，而三角形的底邊在向外移動的過程（就是u增大），是不是底邊會不斷拉長,，應(yīng)變不斷增大

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底邊不斷拉長,，應(yīng)變不斷增大。就是切向應(yīng)變不斷增大,。三角形的底邊長就是切向的長

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 09:03
3 |) A  [3 v, Y& J( u- Y/ e$ m& cu/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u,，則兩點都沿著原來不變的角度移動u,，則r就變成了r+u，這個時候,，兩點 ...

我知道按書理解可以理解,，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚,。
8 E! [/ l0 ?  [3 o咱們換一個方式,，環(huán)向位移V是關(guān)于r和θ的函數(shù)，r和θ是原始坐標(biāo)（沒有加載荷的時候）,。經(jīng)過平衡條件,、邊界條件、相容條件,，我們可以把應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)都推導(dǎo)出來,，關(guān)于r和θ的函數(shù)（注意，r和θ是原始坐標(biāo)）,。
假設(shè)環(huán)向位移函數(shù)V=v（r,，θ），分別帶入d點和a點的坐標(biāo),，那么d點處的環(huán)向位移Vd=v（r,，θ+dθ），a點處的環(huán)向位移Va=v（r,，θ）,。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）,，應(yīng)變ε=δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）=（v對θ的偏導(dǎo)數(shù)）*dθ（帖子中打不出來偏導(dǎo)數(shù)符號,，我就暫時用Χ表示該偏導(dǎo)數(shù)）=Χdθ
那么總應(yīng)變ε=Χ/r，其中并不包括u/r,。
8 w0 b$ ^. B9 t) K這是建立在r和θ原始坐標(biāo)，假設(shè)位移函數(shù)V情況下,，從偏導(dǎo)數(shù)定義推出來的,。
因此,，這個時候我就假設(shè)的把V看成是r和θ變形后的函數(shù)，這樣推出來也不對,。（帖子中的第二步）
若想包括u/r這一項,，單獨的從環(huán)向位移函數(shù)V的偏導(dǎo)數(shù)中我找不出來，我就試一下全微分,，因此有了是v(r,θ)和v（r+u,，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標(biāo)參照,，一個是變形后的,，肯定不對。這就是我現(xiàn)在的矛盾點,，腦子繞在這里出不來了,。
/ R$ ^: o) N- A" r7 h1 u/ E3 l不知道大俠看懂我的矛盾點了沒？
: T# I: L9 R' b+ c% E4 [% K, O

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解嗎,，只有徑向位移u,，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u,，這個時候,，兩點 ...

6 X$ U- s% X: V% N% {9 B0 t再補(bǔ)充一下，我們知道一個函數(shù)V=v（r,，θ）,，這個函數(shù)表示的是位移，現(xiàn)在求a點（r,，θ）和d點（r,，θ+dθ）兩點的位移，怎么求,？帶進(jìn)去,，分別是v（r，θ）和v（r,，θ+dθ）
那這兩點的函數(shù)之差（位移之差）怎么求,？v（r，θ+dθ）-v（r,，θ）=Χdθ,。。,。,。。Χ表示v對θ的偏導(dǎo)數(shù)
2 W% a+ X4 o$ s這個位移之差是什么,？變形量δ,。
" W5 \+ v0 I" F: u2 E應(yīng)變ε=δ/rdθ=Χ/r,。不包含u/r項。
! B8 l" \/ X7 I  L8 T
這是在已知函數(shù)V的情況下

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